Зміст:

Множина та її елементи

Множина –
певна
сукупність
об’єктів будьякої природи
Позначають великими
латинськими літерами
А, В, С…
Числові множини
Множина натуральних
чисел ( N )
Множина цілих чисел ( Z )
Множина раціональних
чисел ( Q )
Множина дійсних чисел ( R )

7. Розв’язування вправ

№ 13.3
До яких числових множин належить число
8,2
0
Множина натуральних
чисел ( N )
Множина цілих чисел ( Z )
π
-6
13
Множина раціональних
чисел ( Q )
Множина дійсних чисел ( R )

8. Множина та її елементи

Елементи множини – це
об’єкти, які складають
дану множину
Множина А
складається з
чисел 1, 2, 3, 4.
Позначають маленькими
латинськими літерами
а, в, с…
Елементи
множини А :
числа 1, 2, 3, 4
Записують:
А=
Число 1 належить множині А
Записують: 1∈А
Число 5 не належить множині А
Записують: 5∉А
Множину, яка не містить елементів, називають порожньою множиною.
Позначають символом Ø

9. Множина та її елементи

Якщо кожен елемент множини А є
елементом множини В, то кажуть, що
множина А є підмножиною множини В
В=
А=
Записують:
А⊂В
Для числових
множин N⊂Z⊂Q⊂R

10. Розв’язування вправ

№13.10
Чи правильне твердження?
N⊂Z
Q⊂Z
N⊂R
Для числових множин N⊂Z⊂Q⊂R
R⊂Q

11. Розв’язування вправ

№13.19
Запишіть усі підмножини множини С=,
які включають: 1) один елемент;
2) два елемента; 3) три елемента.
1) один елемент: , ,
2) два елемента: ,,
3) три елемента:

12. Множина та її елементи

Множини А і В
називаються
рівними, якщо
складаються з
одних і тих самих
елементів
Множини А і В
називаються
рівними, якщо
кожна з них є
підмножиною
іншої
В=
В⊂А
А=
А=В
А⊂В

13. Множина та її елементи

Множина називається
скінченною, якщо
складається зі
скінченої кількості
елементів
Множина називається
нескінченною, якщо
складається з
нескінченої кількості
елементів

14. Множина та її елементи

Множини, у яких порядок
розташування елементів
важливий: який елемент
записано на першому місці,
який – на другому тощо,
називають впорядкованими
В=(1, 2, 3, 4 )
А= (1, 3, 4, 2)
А≠В

15. Розв’язування вправ

№13.17
Упорядкуйте елементи множини А=:
1) за зростанням; 2) за спаданням;
3) за зростанням модулів.
1) за зростанням : В=(-2, 7, 9)
2) За спаданням: С=(9, 7, -2)
3) За зростанням модулів: D=(-2, 7, 9)

16. Бесіда за питаннями

1. Що розуміють під поняттям
множина?
2. Що називають елементами
множини?
3. Що таке порожня множина?

17. Бесіда за питаннями

4.Коли множину В називають
підмножиною множини А ?
5. Які множини називають
рівними ?
6. Які множини називають
впорядкованими?

Розв’язник вправ по дискретній математиці/Множини

Розв’язник вправ по дискретній математиці. Множини [ ред. ]

Поняття «множини» не визначається, але можна його розуміти як сукупність об’єктів (елементів множини), яка розглядається як одне ціле.

Наприклад, множину “велосипед” можна визначити як сукупність, яка складається з елементів: “рама”, “переднє колесо”, “заднє колесо”, “кермо”, “сідло”, “педалі”.

Таке просте перерахування елементів множини є фактично описом множини. Виділяють наступні способи опису множини.

Способи опису множини [ ред. ]

  • Перерахуванням елементів. Елементи множини безпосередньо виписуються.
  • Характеристичною властивістю. Вказується предикат p(x), який характеризує множину M і якщо він виконується для елемента x, тобто p(x) – істинний, то x належить M. Записують так: M =
  • Генерувальна процедура. Всі елементи множини породжуються за допомогою функції або алгоритму. Записують так: M = .

Приклад. 1. Нехай перерахуванням задана множина M = < 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , … , 98 >. .> Як її можна описати по іншому?

2. Як можна описати множину простих чисел до 100?

3. Як можна описати абетку – множину букв?

Позначення [ ред. ]

Фігурні дужки відповідають фразі «множина…(чогось)». Ці дужки можна використовувати по-різному. Наприклад:

  • Можна використовувати ідентифікатор (літеру x, наприклад) щоб показати типовий елемент, символ | замість фрази «такий як», а потім правило(а), яким наш ідентифікатор має підкорятися:

Останній спосіб описати множину може бути узагальнений до: x | P(x), де P(x) – це твердження (технічно, пропозиційна функція) стосовно x і множина – це сукупність усіх елементів x для яких вірно P.

Символ ∈ використовується в таких випадках:

∉ означає «не є елементом. » Наприклад: Вашингтон ∉

Множина може бути скінченна: . або нескінченно велика: (Зазначте, що три крапки . позначають нескінченну послідовність чисел .) Множини завжди позначають, використовуючи великі літери: A, B, . Елементи завжди позначають малими літерами: x, y, .

Операції над множинами [ ред. ]

Універсум [ ред. ]

Множина усіх «речей», про які йде мова, називається універсумом. Вона позначається U.

Універсум не позначає усі речі в світі. Навпаки, він включає лише ті, які є актуальними у визначений час. Наприклад, якщо в даній ситуації ми говоримо про числові значення – частоти, розміри, часи, вага, чи щось такого плану – універсумом буде, відповідно, множина чисел (див. нижче). У іншому контексті, універсумом може бути або , і т.д.

Порожня множина [ ред. ]

Множина, яка не містить елементів, називається пустою або порожньою. Її позначають парою фігурних дужок <> або символом ∅. Може здатися, що зайво позначати множину, котра не містить елементів. Однак, слід пам’ятати, що бувають випадки, коли ми шукаємо рішення задачі, а невідомо, існує взагалі це рішення чи ні. Якщо виявляється, що рішення немає, то порожня множина стає рішенням. Наприклад:

Операції над порожньою множиною [ ред. ]

Операції, що здійснюються над порожньою множиною (нульарні операції), також можуть викликати замішання. Наприклад, сума елементів порожньої множини дорівнює 0, але добуток елементів порожньої множини дорівнює 1. Вони можуть здатися зайвими, оскільки у порожній множини немає елементів, тож яка різниця додаємо ми їх чи перемножуємо (все одно ж «вони» не існують)? Безумовно, результати цих операцій кажуть більше про самі операції, ніж про порожню множину. Наприклад, зауважте, що нуль – тотожний елемент для додавання, а одиниця – для множення.

Деякі особливі множини чисел [ ред. ]

Деякі множини використовують так часто, що вони вже мають спеціальні позначення.

Натуральні числа [ ред. ]

Злічувані числа (усі числа починаючи з 1) називаються натуральними. Множина натуральних чисел іноді позначається N. Так N = Слід зауважити, що на письмі ми не можемо виділити шрифт жирним , тож позначаємо ℕ;

Цілі числа [ ред. ]

Усі числа, додатні, від’ємні, а також 0 – формують множину цілих чисел.Вона іноді позначається Z. Так Z = <. -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, . >На письмі виглядає так: ℤ

Дійсні числа [ ред. ]

Якщо ми розширимо множину цілих чисел до усіх дробових ми сформуємо множину дійсних чисел. Вона іноді позначається R. Дійсне число може мати визначену чи невизначену кількість цифр після коми. У випадку визначеної їх кількості, ці цифри можуть:

  • повторюватися; напр. 8.127127127.
  • або не повторюватися; напр. 3.141592653.

Раціональні числа [ ред. ]

Ті дійсні числа, які мають скінченну кількість цифр після коми, називаються раціональними. Множина раціональних чисел іноді позначається Q. Дійсні числа можна завжди записати у вигляді дробу p/q; де p та q – цілі числа. Якщо q дорівнює 1, то дріб – це p. Слід зазначити, що q не може дорівнювати 0, оскільки величина тоді невизначена.

  • Наприклад: 0.5, -17, 2/17, 82.01, 3.282828. є раціональними числами.

Ірраціональні числа [ ред. ]

Якщо число не можна записати у вигляді дробу, то воно ірраціональне.

Відношення між множинами [ ред. ]

Розглянемо різні шляхи відношення між множинами.

Рівність [ ред. ]

Дві множини A і B називаються рівними, якщо і тільки якщо вони складаються з однакових елементів. У такому випадку ми просто пишемо:

Слід зазначити наступне:

  • Порядок переліку елементів, в даному випадку, не важливий.
  • Якщо елемент у множині трапляється більше одного разу, повторення ігноруються.

Тож, наприклад, наступні множини рівні: = =

(Ви можете поцікавитися, як взагалі комусь спало на думку написати множину як . Згадаємо, коли ми давали визначення порожній множині, ми відзначили, що для тієї чи іншої проблеми може не бути ніяких рішень – звідси необхідність порожньої множини. Однак, тут ми можемо спробувати кілька різних підходів до вирішення проблеми, деякі з яких насправді ведуть нас до одного і того ж рішення. Коли ми будемо розглядати різні рішення, будь-які такі повтори будуть ігноруватися)

// Насправді в теорії множин не існує виразів, як . Всі елементи мають бути унікальними.

Підмножини [ ред. ]

Якщо усі елементи множини A є одночасно елементами множини B, то кажуть, що A – підмножина B, і записують так:

Слід пам’ятати, що A ⊆ B не означає, що В обов’язково має містити інші елементи окрім елементів множини А; дві множини можуть бути рівними, як Q і F вище. Однак, якщо, в додаток, В все ж містить хоча б один елемент, якого немає у множині А, ми можемо сказати що А є істинною підмножиною В. У такому випадку пишемо:

З прикладів вище:

E містить . -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, . , тож T ⊂ E

P містить $, ;, &, . тож A ⊂ P

Але Q та F – просто два різних способи написання одного і того ж, тому Q = F

Використання ⊂ і ⊆ аналогічне використанню знаків < і ≤ при порівнянні чисел.

Зазначимо також, що кожна множина є підмножиною універсуму, а порожня множина – підмножиною кожної множини. (Ви можете поцікавитися стосовно останнього твердження: як може порожня множина бути підмножиною чогось, коли вона взагалі не містить елементів? Сенс тут полягає в тому, що для будь-якої множини А, порожня множина не містить будь-яких елементів, що не входять у А. Таким чином, Ø ⊆ A для всіх множин А.)

Насамкінець, зауважимо, що якщо A ⊆ B і B ⊆ A тоді A і B повинні містити однакові елементи, і , отже, бути рівними. Іншими словами:

Якщо A ⊆ B і B ⊆ A тоді A = B

Неперетинні множини [ ред. ]

Дві множини називаються неперетинними, коли вони не мають спільних елементів. Наприклад:

  • Якщо A = і B = , тоді A і B неперетинні множини

Діаграми Венна [ ред. ]

Діаграми Венна можуть бути корисним способом ілюстрації відношень між множинами. У діаграмах Венна:

  • Універсум представлений прямокутником. Крапки всередині прямокутника вказують на елементи в універсумі; крапки зовні прямокутника – на елементи, що не входять в універсум.
  • Інші множини презентовані кільцями (овалами або кругами) усередині прямокутника. Знову ж таки, крапки всередині фігури вказують на елементи в універсумі; крапки зовні – на елементи, що не входять до універсуму.
  • Цю сторінку востаннє відредаговано о 15:30, 24 грудня 2022.
  • Текст доступний на умовах ліцензії Creative Commons Attribution-ShareAlike; також можуть діяти додаткові умови. Детальніше див. Умови використання.
  • Політика конфіденційності
  • Про Вікіпідручник
  • Відмова від відповідальності
  • Кодекс поведінки
  • Розробники
  • Статистика
  • Куки
  • Мобільний вигляд

Множини. Операції над множинами

В даному уроці дається поняття: множини, підмножини, операції над множинами, доповнення, об’єднання, переріз.

Департамент освіти і науки України

Дніпропетровської обласної державної адміністрації

Управління освіти і науки виконкому Криворізької міської ради

Відділ освіти виконкому Покровської районної у місті ради

КЗШ І-ІІІ ступенів №97

Люта Ганна Петрівна.

м. Кривий Ріг – 2021

Тема уроку: Підмножина. Операції над множинами.

Формування компетентностей:

  • предметна компетентність:
  • сформувати поняття операції над множинами, а саме: дати означення підмножини, перерізу, об’єднання, різниці й доповнення множини;
  • навчати учнів здійснювати операції над множинами;
  • вміти застосовувати означення операції над множини при розв’язування вправ, при розв’язуванні рівнянь, систем рівнянь, нерівностей;
  • уміння вчитися впродовж життя;
  • розвивати логічне і абстрактне мислення;
  • розвивати знання учнів про множину та її елемен ­ ти, порожню множину, способи задання множин та про операції над множинами: об’єднання, переріз, різниця множин .
  • спілкування державною мовою;
  • виховувати культуру математичного запису та мови.

Тип уроку: засвоєння нових знань.

Обладнання та наочність: презентація, множини, операції над множинами

Хід уроку

  1. Організаційний момент
  2. Актуалізація опорних знань

І. «Дерево знань»

  1. Навести приклади множин;
  2. Як позначають множину та її елементи?
  3. Які числа називаються натуральними, цілими?
  4. Дати означення раціональних та ірраціональних чисел;
  5. Ознаки подільності на 2, 5, 10, 3, 9;
  6. Які множини називаються рівними?
  7. Способи завдання множин;
  8. Яку множину називають порожньою? Як її позначають?

ІІ . «Заморочки із бочки» (самостійна робота, робота в парах)

1. Дано функцію f(x) = x 2 +1. Поставте замість зірочки знак або так, щоб отримати правильне твердження:

2. Запишіть множину коренів рівняння:

1. х(х – 1) = 0; х = 0 або х =1; В: .

2. х – 2 = 0 або (х – 2)(х + 2) =0; В: .

3. Записати множини, перелічивши їхні елементи:

Додатні числа, кратні числу 7 і менші від 60.

Сьогодні ми маємо познайомитися з поняттям підмножини, її елементами, навчитися виконувати операції над ними

Якщо кожен елемент однієї множини A є елементом множини B, то кажуть, що перша множина A є підмножиною множини B. Це записують так: A ⊂ B .

Наприклад, ⊂ , N ⊂ Z (оскільки будь-яке натуральне число — ціле), Z ⊂ Q (оскільки будь-яке ціле число — раціональне), Q ⊂ R (оскільки будь-яке раціональне число — дійсне).

Вважають, що завжди ∅ ⊂ A, тобто порожня множина є підмножиною будь-якої не порожньої множини.

Інколи замість запису A ⊂ B використовують також запис A ⊆ B, якщо множина A або є підмножиною множини B, або дорівнює множині B. Наприклад, A ⊆ A.

Співставимо означення рівності множин з означенням підмножини.

Якщо множини А і В рівні , то:

  1. кожний елемент множини А є елементом множини B, отже,

А — підмножина В

  1. кожний елемент множини В є елементом множини А, отже,

В — підмножина А

Таким чином, дві множини рівні, якщо кожна з них є підмножиною іншої. Інколи співвідношення між множинами зручно ілюструвати за допомогою кругів (які часто називають кругами Ейлера-Венна).

Записати всі підмножини М = .

Операція перетину множин

Перетином множин А і В називають їхню спільну частину, тобто множину C усіх елементів, що належать як , так і множині В. Перетин множин позначають знаком ∩ (на рисунку наведено ілюстрацію означення перетину множин).

Наприклад, якщо A = , B = , то A ∩ B = .

Нехай А множина розв’язків рівняння х + у = 5, а В – множина розв’язків рівняння х – у = 3. Тоді множина С розв’язків системи рівнянь

2х = 8; х = 4; у = 1. В: .

Операція об’єднання множин

Об’єднанням множин А і В називають множину С, що складається з усіх елементів, які належать хоча б одній із цих множин (А або В). Об’єднання множин позначають знаком ∪ (на рисунку наведено ілюстрацію означення об’єднання множин).

Наприклад, для множин A і B з попереднього прикладу A ∪ B = .

Якщо позначити множину ірраціональних чисел через M, то M ∪ Q = R.

Наприклад, щоб розв’язати систему рівнянь треба знайти перетин трьох множин

х = 5 – у; х = 3 + у; 5 – у = 3 + у, у = 1, х 2 = 16, х = ±4.

Об’єднання множин А, В, С – це множина всіх елементів, які належать хоча б одній з цих множин: або множині А, або множині В, або множині С.

Об’єднання множин зручно ілюструвати за допомогою діаграм Ейлера.

Операція різниці множин

Різницею множин А і В називається множина С, яка складається з усіх елементів, які належать множині А і не належать множині В.

Різницю множин позначають знаком \ (на рисунку наведено ілюстрацію означення різниці множин).

б) Якщо А — множина учнів вашого класу, В — множина дівча­ток вашого класу, С — множина хлопчиків вашого класу, то А\В = С, А\С = В. У випадку, якщо В — частина множини А (В А), то А\B називається доповненням до В у множині А і позначають С A В.

в) Знайти різницю множин К= і L=:

Доповнення множини

Якщо B — підмножина A, то різницю A \ B називають доповненням множини B до множини A (рис. 1).

Наприклад, якщо знову позначити множину ірраціональних чисел через M, то
R \ Q = M: кажуть, що множина M ірраціональних чисел доповненням множини A називається множина, яка складається з усіх елементів, які не належать множині А,але які належать універсальній множині U.

Доповнення множини А позначають Ā (читають: «А з рискою» або «доповнення А»).

Наприклад, якщо U = R і A = [0; 1], то Ā = (−∞; 0) ∪ (0; +∞) (Для цього прикладу зручно використати традиційну ілюстрацію множини дійсних чисел на числовій прямій — рис. 3).

Сприймання і усвідомлення матеріалу про операції над множинами.

1. Нехай А – множина коренів рівняння х 2 – 5х + 6 = 0. Які із поданих записів вірні?

а) -5 А; б) 6 А; в) 2 А; г) 3 А .

2. Задайте переліченням елементів множини:

а) А — множину голосних букв українського алфавіту; (А-Я)

в) С — множину простих парних чисел; (2Z = )

г) D — множину пір року. (Весна, літо, осінь, зима)

3. Задайте кілька елементів кожної множини:

3. Задано множини:

а) А — множина учнів вашого класу;

б) В — множина учнів вашої школи;

в) С — множина учнів України;

г) D — множина учнів країн земної кулі. Випишіть букви, що позначають вказані множини, в такому порядку, що кожна наступна буква позначала підмножину попередньої множини.

4. Задано множини:

а) множина А всіх трапецій;

б) множина В всіх прямокутників;

в) множина С всіх чотирикутників;

г) множина D всіх квадратів;

д) множина Η всіх паралелограмів;

є) множина F всіх багатокутників.

Запишіть за допомогою знаку с ці множини в такому поряд­ку, що кожна наступна множина була б підмножиною попе­редньої.

5. Зобразіть за допомогою діаграми Ейлера: якщо А В і В С, то А С.

Виконання вправ на переріз множин

3. Доведіть: (А B) С = А (B С) = А В С.

5. Доведіть: а) А А = А; б) А = ; в) А B = В А.

Виконання вправ на об єднання множин

а) АUВ; (1, 3, 5, 7, 9) 6) AUC; (1, 2, 3, 4, 5, 7) в) BUC; (1, 2, 4, 5, 7, 9)

г) AUBUC. (1, 2, 3, 4, 5, 7, 9)

а) АUА = А; б) АU = А; в) АUВ = ВUА; г) (АUВ)UС = АU(ВUС).

4. Доведіть: якщо B А, то AUB = А.

Виконання вправ на різницю множин

a) M\N; (a, b, c) б) N\M; (0) в) (Μ \ Ν) U (Ν \ Μ). (a,b,c)

2. Доведіть: а) А \ А = ; б) А \ = А.

V. Підведення підсумків уроку.

1. Що таке множина? (Сукупність будь-яких предметів, об’єктів, об’єднаних між собою деякою загальною для них усіх ознакою)

2. Що таке об’єднання множин? (Об’єднанням множин А і В називається множи­на, яка складається з усіх елементів, які містять­ся хоч в одній з двох множин А, В і тільки їх)

3. Що таке переріз множин? (Перерізом множин А і В називається множина, яка містить усі спільні елементи множин А і В, і тільки їх)

4. Що таке різниця множин? (Різницею множин А і В називається множина всіх таких елементів множини А, які не містять­ся у множині В)

5. Вкажіть серед вказаних нижче множин порожню:

а) множина коренів рівняння х 2 – 4 = 0;

б) множина коренів рівняння х = х + 2;*

в) множина коренів рівняння х + 1 = 1 + x;

г) множина кіл, в яких діаметр менший від радіуса.

6. Доведіть, що, якщо А В, а В С, то А С