Логарифм числа. Основна логарифмічна тотожність

Означення. Логарифмом числа b за основою a , де a > 0 , a ≠ 1 , b > 0 , називається показник степеню, до якого потрібно піднести основу a , щоб отримати число b .

Позначення. log _a b – читаємо: логарифм від b за основою a ».

Калькулятор логарифмів

Графік

Підставивши в другу формулу значення степені через логарифм, отримаємо основну логарифмічну тотожність.

Основна логарифмічна тотожність

за умови, що a > 0 , a ≠ 1 , b > 0 можна записати основну логарифмічну тотожність

3 -log₃ 7 = 1 3 log₃ 7 = 1 7

4 log₂ 7 =2 2 log₂ 7 = (2 log₂ 7 ) 2 = 7 2 = 49

2 1 + log₂ 7 = 2 · 2 log₂ 7 = 2 · 7 = 14

Обчислення логарифма рівносильне розв’язанню показникового рівняння

за умови a > 0, a ≠ 1; b > 0, де

x — показник степеню, a — основа степеню, b — степінь числа a .

за умови a > 0, a ≠ 1; b > 0, де

x — логарифм числа b за основою a , a — основа логарифма, b — число, яке стоїть під знаком логарифма.

2 5 = 32 ⇔ 5 = log₂ 32;

3 4 = 81 ⇔ 4 = log₃ 81;

log_1/5 125 = -3 ⇔ (1/5) -3 = 125;

log₂ 1 16 = -4 ⇔ 2 -4 = 1 16 .

Знайти логарифм: log ₄ 8

Позначимо log₄ 8 через x :

Перейдемо до показникової рівності:

4 x = 8

Зведемо показникове рівняння до основи 2 і розв&#39яжемо його:

log₄ 8 = 3 2

Знайти x якщо : log _x 125 = 3 2

За означенням логарифму маємо:

Піднесемо обидві частини до степеню 2 3 , і скористаємося властивостями степенів:

( x 3/2 ) 2/3 = 125 2/3

x = (5 3 ) 2/3 = 5 3·2/3 = 5 2 = 25

Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!

© 2011-2024 Довжик Михайло
Копіювання матеріалів з сайту заборонено.

Вітаю всіх користувачів OnlineMSchool.
Мене звати Довжик Михайло Вікторович. Я власник і автор цього сайту, мною написано весь теоретичний матеріал, а також розроблені онлайн вправи та калькулятори, якими Ви можете скористатися для вивчення математики.

Якщо Ви бажаєте зв’язатися зі мною, маєте питання, пропозиції або бажаєте допомогти розвитку сайту OnlineMSchool пишіть мені [email protected]

Властивості натуральних логарифмів: графік, основа, функції, межа, формули та область визначення. Натуральний логарифм, функція ln x

Урок та презентація на теми: “Натуральні логарифми. Заснування натурального логарифму. Логарифм натурального числа”

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання! Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині “Інтеграл” для 11 класу
Інтерактивний посібник для 9–11 класів “Тригонометрія”
Інтерактивний посібник для 10–11 класів “Логарифми”

Що таке натуральний логарифм

Хлопці, на минулому уроці ми з вами довідалися про нове, особливе число – е. Сьогодні ми продовжимо працювати з цим числом.
Ми з вами вивчили логарифми і знаємо, що в основі логарифму може стояти безліч чисел, які більше 0. Сьогодні ми також розглянемо логарифм, в основі якого стоїть число е. Такий логарифм називається натуральним логарифмом. Він має власний запис: $\ln(n)$ – натуральний логарифм. Такий запис еквівалентний запису: $ \ log_e (n) = \ ln (n) $.
Показові та логарифмічні функції є зворотними, тоді натуральний логарифм є зворотним для функції: $y=e^x$.
Зворотні функції є симетричними щодо прямої $ y = x $.
Давайте побудуємо графік натурального логарифму, відобразивши експоненційну функцію щодо прямої $y=x$.

Варто помітити кут нахилу щодо графіку функції $y=e^x$ у точці (0;1) дорівнює 45&deg. Тоді кут нахилу дотичної до графіка натурального логарифму в точці (1;0) також дорівнюватиме 45&deg. Обидві ці дотичні будуть паралельні прямій $y=x$. Давайте схематично зобразимо дотичні:

Властивості функції $y=\ln(x)$

1. $D(f)=(0;+∞)$.
2. Не є ні парною, ні непарною.
3. Зростає по всій області визначення.
4. Не обмежена згори, не обмежена знизу.
5. Найбільшого значенняні, найменшого значення немає.
6. Безперервна.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. Випукла вгору.
9. Диференційована всюди.

У курсі вищої математики доведено, що похідна зворотної функції є величина, обернена до похідної цієї функції.
Заглиблюватися в доказ не має великого сенсу, просто запишемо формулу: $y”=(\ln(x))”=\frac(1)(x)$.

приклад.
Обчислити значення похідної функції: $y=\ln(2x-7)$ у точці $х=4$.
Рішення.
У загальному виглядінаша функція є функцією $y=f(kx+m)$, похідні таких функцій ми вміємо обчислювати.
$y”=(\ln((2x-7)))”=\frac(2)((2x-7))$.
Обчислимо значення похідної у потрібній точці: $y”(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
Відповідь: 2.

приклад.
Провести дотичну до графіку функції $y=ln(x)$ у точці $х=е$.
Рішення.
Рівняння щодо графіку функції, у точці $х=а$, добре пам’ятаємо.
$y=f(a)+f”(a)(x-a)$.
Послідовно обчислимо необхідні значення.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f”(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$ y = 1 + frac (1) (e) (x-e) = 1 + frac (x) (e) – frac (e) (e) = frac (x) (e) $.
Рівняння дотичної у точці $х=е$ є функцією $y=\frac(x)(e)$.
Давайте побудуємо графік натурального логарифму та дотичної.

приклад.
Дослідити функцію на монотонність та екстремуми: $y=x^6-6*ln(x)$.
Рішення.
Область визначення функції $D(y)=(0;+∞)$.
Знайдемо похідну заданої функції:
$y”=6*x^5-\frac(6)(x)$.
Похідна існує при всіх х з області визначення, тоді критичних точокні. Знайдемо стаціонарні точки:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$ \ frac (6 * x ^ 6-6) (x) = 0 $.
$ 6 * x ^ 6-6 = 0 $.
$ x ^ 6-1 = 0 $.
$x^6=1$.
$ x = ± 1 $.
Точка $х=-1$ не належить області визначення. Тоді маємо одну стаціонарну точку $х=1$. Знайдемо проміжки зростання та спадання:

Точка $х=1$ – точка мінімуму, тоді $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
Відповідь: Функція зменшується на відрізку (0;1], функція зростає на промені $)