Куб. Формули, ознаки та властивості куба

Куб (гексаедр) — це тривимірна фігура, яка складається з шести днакових квадратів так, що кожен квадрат повністю дотикається своїми чотирма сторонами до сторін інших чотирьох квадратів під прямим кутом. Куб є правильним багатогранником у якого грані утворені з квадратів. Також кубом можна назвати прямокутний паралелепіпед, у якого всі ребра рівні.

– кожна грань куба перетинається з чотирма іншими гранями під прямим кутом та паралельна шостій грані;

Означення. Вершина куба – це найвіддаленіша точка від центру куба, яка лежить на перетині трьох граней куба.

Означення. Вісь куба ( i ) – це пряма, яка проходить через центр куба та цетри двох паралельних граней куба.

Означення. Діагональ куба ( d 1) – відрізок, який з’єднує протилежні вершини куба та проходить через центр куба.

Означення. Діагональ грані куба ( d 2) – відрізок, який з’єднує протилежні кути грані куба та проходить через центр грані куба.

Означення. Сферою вписаною в куб називається сфера, яка має центр спільний з центром куба та дотикається до центрів граней куба.

Означення. Сферою описаною навколо куба називається сфера, яка має центр спільний з центром куба та дотикається до восьми вершин куба.

Властивості куба

1. В куб можна вписати тетраедр так, щоб всі чотири вершини тетраедра лежали на чотирьох вершинах куба, а всі шість ребер тетраедра лежатимуть на шести гранях куба і ребра будуть рівні діагоналі грані куба.

Координати вершин куба

1. Координати вершин куба зі стороною a та вершиною D у початку декартової системи координат так, що ребра цієї вершини лежать на вісях координат:

A( a , 0, 0), B( a , a , 0), C(0, a , 0), D(0, 0, 0),
E( a , 0, a ), F( a , a , a ), G(0, a , a ), H(0, 0, a ).

2. Координати вершин куба з довжиною сторони 2 a , у якого центр куба розташований в початку декартової системи координат так, що ребра куба паралельні вісям координат:

A( a , – a , – a ), B( a , a , – a ), C(- a , a , – a ), D(- a , – a , – a ),
E( a , – a , a ), F( a , a , a ), G(- a , a , a ), H(- a , – a , a ).

Перетин куба площиною

1. Якщо перетнути куб площиною, яка проходить через центр куба та центри двох протилежних граней, то в перерізі буде квадрат довжина сторони, якого буде дорівнювати довжені ребра куба. Ця площина ділить куб два рівних прямокутних паралелепіпеда.

2. Якщо перетнути куб з ребром a площиною, яка проходить через центр куба та два паралельних ребра, то в перерізі буде прямокутник зі сторонами a і a √ 2 , площею перерізу a 2 √ 2 . Ця площина ділить куб дві рівні призми.

3. Якщо перетнути куб площиною, яка проходить через центр та середини шести граней, то в перерізі буде правильний шестикутник зі стороною a √ 2 /2, площею перерізу a 2 (3√ 3 )/4. У куба одна з діагоналей (FC) кожної грані, що перерізаються, перпендикулярна до сторони шестикутника.

4. Якщо перетнути куб площиною, яка проходить через три вершини куба, то в перерізі буде правильний трикутник зі стороною a √ 2 , площею перерізу a 2 √ 3 /2 та об’ємом більшої частини – 5 a 3 /6 та меншої – a 3 /6. Одна з діагоналей куба (EC) перпендикулярна до площини перерізу та проходить через центр трикутника (M) та ділиться площиною в выдношенні MC:EМ = 2:1.

Як знайти ребро куба?

Куб – це один з найпростіших тривимірних об`єктів, як в стереометрії, так і в природі. Перед тим, як знайти ребро куба, необхідно нагадати про те, що таке куб. Це прямокутний паралелепіпед, що має рівні між собою ребра. Крім того, куб являє собою шестигранник, гранями якого є рівні квадрати. Щоб знайти ребро куба, необхідно знати його деякі параметри – обсяг куба, площа грані, довжину діагоналі куба або межі.

  1. У більшості випадків зустрічаються завдання чотирьох типів, в яких знаходиться ребро куба. Це – визначити довжину ребра по діагоналі куба, по діагоналі його грані, за обсягом куба і площі грані. Найпростіша з них – знайти ребро по площі грані. Адже грань куба – це квадрат зі стороною, яка дорівнює ребру куба. Отже, площа цієї грані дорівнює ребру куба, зведеному в квадрат. Звідси, щоб знайти ребро, необхідно з площі грані витягти квадратний корінь. а = vS а – ребро куба (довжина), S – площа однієї грані.
  2. Ще простіше знайти грань куба виходячи з його обсягу, так як обсяг куба буде дорівнювати зведенню довжини ребра в 3-ю ступінь. Отже, якщо ми винесемо кубічний корінь (третій ступінь) з обсягу, то отримаємо довжину ребра а = vV (кубічний корінь), тут а – ребро куба (довжина), V – його об`єм.
  3. Як знайти довжину ребра куба, якщо відомі довжини діагоналей. Позначимо: а – ребро куба (довжина), b – діагональ грані куба (довжина), c – діагональ куба (довжина). Діагональ ребра і грані куба утворюють між собою рівносторонній прямокутний трикутник. Застосовуємо теорему Піфагора, де: a ^ 2 + a ^ 2 = b ^ 2, тут (a ^ – піднесення до степеня) Виходить: a = v (b ^ 2/2). Витягуючи корінь квадратний з половини квадрата діагоналі його грані, ми знайдемо довжину ребра куба.
  4. Знаходимо довжину ребра по діагоналі куба, де а – ребро куба, b – діагональ грані, з – діагональ куба. Вони утворюють всі разом прямокутний трикутник. Виходимо з теореми Піфагора де: a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2. Застосуємо вищеназвану залежність між значеннями а і b, підставимо їх у вираз b ^ 2 = a ^ 2 + a ^ 2. Отримавши: a ^ 2 + a ^ 2 + a ^ 2 = c ^ 2, знайдемо: 3 * a ^ 2 = c ^ 2, отримуючи кінцеве вираженіе- a = v (c ^ 2/3).

Якщо параметри куба задаються в застарілих, національних та інших специфічних одиницях, тоді слід перевести їх в відповідні метричні аналоги – кубічні метри, дециметр, сантиметри або міліметри.