Математика. Повний повторювальний курс. Підготовка до ЗНО та ДПА

Бісектрисою трикутника називають відрізок бісектриси кута, що сполучає вершину трикутника з точкою протилежної сторони.

На малюнку 208 відрізок АL 1 — бісектриса трикутника АВС. Точку L 1 називають основою бісектриси АL 1. Будь-який трикутник має три бісектриси. На малюнку 209 АL 1, ВL 2, СL 3 — бісектриси трикутника.

Властивості бісектриси трикутника.

1. У будь-якому трикутнику бісектриси перетинаються в одній точці (вона називається інцентром).

На малюнку 209 точка І — інцентр трикутника.

2. Бісектриса трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, пропдрційні двом іншим сторонам.

На малюнку 208 АL 1 — бісектриса трикутника. Тоді

Приклад 1. У трикутнику АВС АВ = 6 см; АС = 12 см; АL 1 — бісектриса. Більший з відрізків, на які бісектриса АL 1 ділить сторону ВС, дорівнює 6 см. Знайдіть ВС.

Розв’язання. Оскільки Тоді виходячи з умови L 1С = 6 см, маємо

Довжину бісектриси трикутника l а, проведеної до сторони а (мал. 208) можна знайти за формулами:

де b, с — сторони трикутника; b 1 і с 1 — відрізки сторони а, на які її ділить бісектриса;

Приклад 2. Обчисліть бісектрису АL 1 трикутника АВС, якщо АВ = 12 см; АС = 15 см; ВС = 18 см.

Розв’язання (мал. 208). Позначимо ВL 1 = х, тоді L 1С = 18 – х. За властивістю бісектриси маємо

Отже, ВL 1 = 8 см; L 1С = 10 см.

За формулою для обчислення довжини бісектриси маємо

Використовуючи сайт ви погоджуєтесь з правилами користування

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Ми приєднуємось до закону про авторське право в цифрову епоху DMCA прийнятим за основу взаємовідносин в площині вирішення питань авторських прав в мережі Інтернет. Тому підтримуємо загальновживаний механізм “повідомлення-видалення” для об’єктів авторського права і завжди йдемо на зустріч правовласникам.

Копіюючи матеріали во повинні узгодити можливість їх використання з авторами. Наш сайт не несе відподвідальність за копіювання матеріалів нашими користувачами.

Бісектриси трикутника і їх властивості

Бісектрисою трикутника називають відрізок бісектриси кута трикутника, який сполучає його вершину з точкою на протилежній стороні і ділить даний кут на дві рівні частини. Кожний трикутник має три бісектриси.

Бісектриси трикутника перетинаються в точці О

Бісектриса характеризується наступними властивостями:

  1. Бісектриси внутрішніх кутів трикутника перетинаються в точці , що знаходиться врседині трикутника, рівновіддалена від трьох його сторін і є центром вписаного кола. Дійсно, розглянемо, спочатку, точку перетину двох біссектрис, наприклад, і . Ця точка однаково віддалена від сторін та , так як вона лежить на бісектрисі кута , і однаково віддалена від сторін та , оскільки належить бісектрисі кута . Значить, вона однаково віддалена від сторін та і тим самим належить третій бісектрисі , тобто в точці перетинаються всі три бісектриси трикутника.
  2. Бісектриса будь-якого кута трикутника ділить протилежну сторону на частини, пропорційні прилеглим сторонам. До прикладу, для бісектриси , кута матимемо: .

Бісектриса AD кута A трикутника ABC

Бісектриса трикутника – приклади:

Приклад 1: у трикутнику проведено бісектриси і , які перетинаються в точці . Знайти кут , якщо .

Бісектриса AD та BE трикутника ABC

Як відомо, сума кутів будь-якого трикутника дорівнює . Тому, .

Розглянемо тепер трикутник . Так як і бісектриси кутів і відповідно, то . Отже, .

Приклад 2: бісектриса трикутника ділить сторону на відрізки і . Знайти сторону трикутника , якщо відомо, що .

Отже, як зазначалося вище, бісектриса кута трикутника ділить протилежну сторону на частини, пропорційні прилеглим сторонам. Тобто, в нашому випадку, матимемо .

Якщо в останню рівність підставити дані з умови задачі, то отримаємо , звідки .

Приклад 3: діагоналі вписаного в коло чотирикутника перетинаються в точці , причому , і . Знайдіть площу чотирикутника .

Зазначимо, що шукана площа визначається за формулою , де – величина кута .

Чотирикутник ABCD

Отже, з умови маємо . Таким чином, в трикутнику відрізок ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні прилеглим сторонам. Значить, – бісектриса трикутника .

Тоді, і по теоремі синусів , де – радіус описаного навколо трикутника кола, а якщо бути більш точним, то радіус заданого кола.

Розглянемо далі трикутник . Зазначимо, що даний трикутник являється подібним трикутнику за двома кутами. Тоді, і, по теоремі синусів, матимемо , де – величина кута .

Звідси, шукана площа дорівнює