Як розв’язувати задачі з геометрії?

Розв‘язання задач з геометрії іноді здається квестом. Але з будь-якого квесту є вихід.

Пропонуємо разом пройти шлях від основ геометрії до гуру розв’язання задач.

Прочитавши цю статтю, ви зможете побудувати власну стратегію знаходження рішення. Варто пам‘ятати, що успіх залежить від бази знань.

Тож уперед — розбирати основні нюанси та методи.

Наприкінці чекає бонус у вигляді алгоритму!

Геометрія для чайників чи з чого розпочати вивчення?

Одна з основних проблем, з якою стикаються учні — перетворення даних у схему. Правильний малюнок — 80% успіху та репетитор з геометрії допоможе розкрити цю техніку.

Загального алгоритму розв‘язання задач не існує, тому потрібно освоїти базову теорію, щоб побудувати логічний ланцюжок від «дано» до вирішення.

Пропущені уроки геометрії більше не стануть на заваді успішного вивчення. Репетитор допоможе якісно відновити знання або задати хороший старт для освоєння геометрії з нуля.

Які геометричні об‘єкти існують?

Пряма

Пряма — проста фігура, що не викривляється і вважається нескінченною.

Як правило, позначаємо малою латинською літерою. Якщо пряма з‘єднує дві точки — це відрізок, позначається двома великими літерами.

Наприклад: AB (де А — початок відрізка, B — кінець відрізка)

Варто запам’ятати, що:

  1. Через будь-які дві точки можна провести пряму і лише одну.
  2. Дві прямі можуть перетинатися лише в одній точці.
  3. Через одну точку можна провести безліч прямих.

Розташування точки щодо прямої:

  1. точка належить прямій, пряма проходить через неї, що символічно позначають: Aa;
  2. точка не належить прямій, пряма не проходить через неї, що символічно позначають: Aa.

Виходячи з цього, існують прямі:

  1. Що перетинаються. Прямі з однією спільною точкою. Символічно позначаємо — ab=A
  2. Перпендикулярні. Прямі, що перетинаються під кутом 90° (прямим). Позначаємо — 𝑎⊥𝑏.
  3. Паралельні. Прямі без спільних точок. Позначаємо — c∥d.

Відрізок

Відрізок — частина прямої, обмежена двома точками. Відрізок має початок і кінець. Позначаємо двома великими літерами.

Довжина — основна властивість, що означає відстань від початкової до кінцевої точки.

Як правило, позначається двома великими літерами.

Площина

Площина — поверхня, якій належить кожна пряма, що з‘єднує будь-які її точки. Простими словами — звичайна поверхня (грань піраміди).

Дві площини можуть бути паралельні, або перетинатися по прямій.

Поєднання елементарних об’єктів

Дві прямі, що перетинаються, утворюють кут.

Кут — елементарна геометрична фігура, обмежена двома променями, що виходять з однієї точки.

Градус — одиниця виміру кута. Максимальний або повний кут — 360 °. градусів.

Види кутів:

  • Прямий — кут 90°.
  • Гострий — менше ніж 90°.
  • Тупий — більше ніж 90°.
  • Розгорнутий —дорівнює 180°.

Виділяють такі типи кутів:

  1. Суміжні — два кути з однією спільною стороною. Сума суміжних кутів — 180°.
  2. Вертикальні — два кути, сторони якого продовжують одна одну. Вертикальні кути рівні.

Слід зауважити: з точки, яка не лежить на прямій, можна провести лише один перпендикуляр до цієї прямої.

Бісектриса кута — промінь, що бере початок у вершині кута і ділить його на дві рівні частини.

Основні фігури у геометрії:

Прямокутник, квадрат, трикутник, багатокутник, коло та інші.

Трикутник

Трикутник — геометрична фігура, що утворюється при з‘єднанні трьох прямих у точках, що не належать одній прямій. Точка — вершина трикутника, відрізки — сторони.

Основні властивості трикутників:

  • Навпроти більшого кута лежить більша сторона.
  • Сума кутів трикутника дорівнює 180 градусів.
  • Усі кути рівностороннього трикутника дорівнюють 60 градусам.
  • У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.

Периметр трикутника можна обчислити за допомогою формули:

P = a + b + c, де a, b, c — довжина його сторін.

Види трикутників

Прямокутний

Прямокутний — трикутник, у якого один із кутів прямий, а сума двох інших 90 градусів.

Прямокутний трикутник можна вважати частиною прямокутника, точніше його половиною.

У прямокутного трикутника медіана, проведена з вершини прямого кута, дорівнює половині гіпотенузи.

Рівнобедрений

Рівнобедрений — трикутник, у якого дві сторони рівні.

Рівносторонній

Рівносторонній — трикутник, у якого всі кути та сторони рівні. Довжина сторони визначає всі параметри.

Основні теореми геометрії

  1. Теорема Піфагора: у прямокутному трикутнику квадрат довжини гіпотенузи дорівнює сумі квадратів довжин катетів.

sin a=sin b=sin c=2R, де a, b, c — сторони, ,, — кути трикутника, R – радіус описаного кола.

  1. Теорема косинусів формулюється: квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін мінус подвоєний добуток цих сторін на косинус кута між ними.

Що потрібно знати, щоб розв‘язати трикутник?

Термін «розв‘язати трикутник» означає знайти всі його елементи — сторони та кути.

  1. Не забувати про основні властивості трикутника.
  2. Використовувати одну з двох теорем – синусів та косинусів.

З ними ви вже ознайомилися, так що перейдемо до негласного правила: щоб вирішити трикутник потрібні три будь-які числа (елементи). Не важливо: сторони, кути, площа чи об‘єм. Ось і вся магія. Виникли проблеми?

Тоді, розглянемо докладніше:

  1. Якщо дано три сторони, то для знаходження кутів скористайтесь теоремою синусів або теоремою Герона для пошуку площі трикутника.
  2. Якщо відомо дві сторони та кут між ними, то на допомогу прийде теорема синусів (або косинусів, як вам зручніше). Вітаю, тепер ви знайшли третю сторону.
  3. Якщо дано два кути і одна зі сторін, то для знаходження довжин інших сторін використовуємо теорему синусів.
  4. Якщо при вирішенні у вас тільки два числа — швидше за все, третє можна вирахувати з базових властивостей трикутника: або із суми кутів (180 °) або це буде кут 90 ° (якраз третє число).

Не хвилюйтеся, якщо не можете визначити, яку з теорем варто застосувати для вирішення вашої задачі — вибирайте будь-яку. Скориставшись однією, помітили, що не виходить поверніться до іншої.

Багатокутники

Багатокутники — геометричні фігури різної форми.

Діагональ — відрізок, який сполучає несуміжні вершини багатокутника.

Прямокутник

Прямокутник — паралелограм, у якого всі кути прямі.

У прямокутника протилежні сторони рівні.

Периметр прямокутника можна обчислити за формулою:

P = 2 × (a + b), де a, b — довжини сторін.

Формули для обчислення площі:

S = a × b, де a, b — довжина та ширина прямокутника.

S = 0,5 × d2 × 𝑠𝑖𝑛α, де d – діагональ, α – кут між діагоналями.

Квадрат

Квадрат — прямокутник, у якого всі сторони рівні.

Формули для обчислення площі:

S = а2, де а — сторона квадрата.

P = 4×a, де a — довжина сторони.

Паралелограм

Паралелограм — чотирикутник, протилежні сторони якого попарно паралельні.

Площу можна визначити за допомогою формули:

S = 0,5 × (d1 × d2) × sinβ, β — кут між діагоналями.

Формула периметра паралелограма:

P = 2 × (a + b), де a, b — довжини сторін.

Ромб

Ромб — паралелограм з рівними сторонами.

Для обчислення площі використовуємо формули:

S = a × a × sinα або S = a2 × sinα.

S = 0,5×(d1×d2), де d1,d2 — дві діагоналі.

Периметр ромба можна знайти за допомогою формули:

P = 4×a, де a — довжина сторони.

Репетитор допоможе швидко та якісно розібратися у всіх тонкощах та нюансах.

Окружність: коло

Окружність — геометрична фігура, утворена замкненою кривою лінією, всі точки якої знаходяться на однаковій відстані від центру.

Коло — плоска геометрична фігура, що знаходиться всередині кола.

Радіус кола — відстань від центру кола до будь-якої точки на ньому.

Діаметр кола — відрізок, який з‘єднує дві точки на колі, що проходять через центр.

Важливо! У будь-який трикутник можна вписати або описати навколо нього лише одне коло.

Тепер ви знаєте основи, перейдемо до наступного кроку.

Практичні поради: як вирішувати завдання?

Ми вже розглянули різні типи фігур, тож першим кроком визначаємо: перед нами просторова чи задача на «площину»?

  1. Прочитайте умови. Не поспішайте, визначте, що потрібно знайти — зосередьтесь на деталях.
  2. Створіть малюнок на ¼ аркуша. Навіть якщо завдання не вимагає — намалюйте, інакше все змішається. На великому малюнку простіше побачити рішення.
  3. Визначте, що з базових властивостей можна визначити одразу: суму кутів, рівність сторін, теорему Піфагора, теорему синусів тощо.
  4. Позначали всі нові дані? Переходьте до питання задачі.
  5. З ймовірністю 99% ми знайдемо відповідь у 3 пункті. Якщо ні, тоді перед нами більше даних для вирішення. Тепер лише визначаємо формули для конкретної фігури.

Ви вирішили її, вітаю! Радимо аналізувати кожен етап одразу після рішення. Це допоможе вчасно виявити помилку.

Геометрія — це легко, адже кожен пункт підкріплений науковою теорією. Відновлюючи знання та дотримуючись алгоритму, у вас більше не виникне питань на кшталт «як зрозуміти геометрію» або «застосувати знання на практиці».

§1 РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ТРИКУТНИКІВ

Із першої ознаки рівності трикутників випливає, що дві сторони та кут між ними однозначно визначають трикутник. Отже, за вказаними елементами можна, наприклад, знайти третю сторону трикутника. Як це зробити, показує така теорема.

Теорема 2.1 (теорема косинусів). Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін мінус подвоєний добуток цих сторін і косинуса кута між ними.

Доведення. 0 Розглянемо трикутник ABC. Доведемо, наприклад, що

BC 2 = AB 2 + AC 2 – 2 AB ∙ AC ∙ cos A.

Перший випадок. Нехай кут A гострий. Тоді хоча б один із кутів B або C є гострим.

У прямокутному трикутнику ABD:

BD = AB ∙ sin A, AD = AB ∙ cos A.

У прямокутному трикутнику BDC: BC 2 = BD 2 + CD 2 =

= BD 2 + (AC – AD) 2 = AB 2 ∙ sin 2 A + (AC – AB ∙ cos A) 2 =

= AB 2 ∙ sin 2 A + AC 2 – 2 AC ∙ AB ∙ cos A + AB 2 ∙ cos 2 A =

= AB 2 ∙ (sin 2 A + cos 2 A) + AC 2 – 2AC ∙ AB ∙ cos A =

= AB 2 + AC 2 – 2AB ∙ AC ∙ cos A.

Другий випадок. Нехай кут A тупий. Проведемо висоту BD трикутника ABC (рис. 2.2).

У прямокутному трикутнику ABD: BD = AB ∙ sin ∠BAD =

= AB ∙ sin (180° – ∠BAC) = AB ∙ sin ∠BAC,

AD = AB ∙ cos ∠BAD = AB ∙ cos (180° – ∠BAC) = – AB ∙ cos ∠BAC.

У прямокутному трикутнику BDC: BC 2 = BD 2 + CD 2 =

= BD 2 + (AC + AD) 2 = AB 2 ∙ sin 2 ∠BAC + (AC – AB ∙ cos ∠BAC) 2 =

= AB 2 + AC 2 – 2AB ∙ AC ∙ cos ∠BAC.

Третій випадок. Нехай кут A прямий (рис. 2.3). Тоді cos A = 0. Треба довести, що BC 2 = AB 2 + AC 2 . Ця рівність випливає з теореми

Піфагора для трикутника ABC.

Доведення теореми косинусів показує, що теорема Піфагора є окремим випадком теореми косинусів, а теорема косинусів є узагальненням теореми Піфагора.

Якщо скористатися позначеннями для довжин сторін і величин кутів трикутника ABC (див. форзац), то, наприклад, для сторони, довжина якої дорівнює a, можна записати:

За допомогою теореми косинусів, знаючи три сторони трикутника, можна визначити, чи є він гострокутним, тупокутним або прямокутним.

Теорема 2.2 (наслідок з теореми косинусів). Нехай a, b і c — довжини сторін трикутника, причому a — довжина його найбільшої сторони. Якщо a 2 < b 2 + c 2 , то трикутник є гострокутним. Якщо a 2 >b 2 + c 2 , то трикутник є тупокутним. Якщо a 2 = b 2 + c 2 , то трикутник є прямокутним.

Доведення. За теоремою косинусів

Звідси 2bc cos a = b 2 + c 2 – a 2 .

Нехай a 2 < b 2 + c 2 . Тоді b 2 + c 2 - a 2 >0. Звідси 2bc cos a > 0, тобто cos a > 0. Тому кут a гострий.

Оскільки a — довжина найбільшої сторони трикутника, то проти цієї сторони лежить найбільший кут, який, як ми довели, є гострим. Отже, у цьому випадку трикутник є гострокутним.

Нехай a 2 = b 2 + c 2 . Тоді 2bc cos a = 0. Звідси cos a = 0. Отже, a = 90°. У цьому випадку трикутник є прямокутним.

Задача 1. Доведіть, що сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів усіх його сторін.

Розв’язання. На рисунку 2.4 зображено паралелограм ABCD.

Нехай AB = CD = a, BC = AD = b, ∠BAD = а, тоді ∠ADC = 180° – a. Із трикутника ABD за теоремою косинусів отримуємо:

BD 2 = a 2 + b 2 – 2ab cos a. (1)

Із трикутника ACD за теоремою косинусів отримуємо:

AC 2 = a 2 + b 2 – 2ab cos (180° – a). Звідси

AC 2 = a 2 + b 2 + 2ab cos a. (2)

Додавши рівності (1) і (2), отримаємо:

Задача 2. У трикутнику ABC сторона AB на 4 см більша за сторону BC, ∠B = 120°, AC = 14 см. Знайдіть сторони AB і BC.

Розв’язання. За теоремою косинусів

AC 2 = AB 2 + BC 2 – 2 AB ∙ BC ∙ cos B.

Нехай BC = x см, x > 0, тоді AB = (х + 4) см.

Корінь -10 не задовольняє умову х > 0.

Задача 3. На стороні AC трикутника ABC позначено точку D так, що CD : AD = 1 : 2. Знайдіть відрізок BD, якщо AB = 14 см, BC = 13 см, AC = 15 см.

Розв’язання. За теоремою косинусів з трикутника ABC (рис. 2.5) отримуємо:

AB 2 = AC 2 + BC 2 – 2AC ∙ BC ∙ cos C.

Оскільки CD : AD = 1 : 2, то CD = AC = 5 (см).

Тоді з трикутника BCD отримуємо:

Задача 4. Дві сторони трикутника дорівнюють 23 см і 30 см, а медіана, проведена до більшої з відомих сторін, — 10 см. Знайдіть третю сторону трикутника.

Розв’язання. Нехай у трикутнику ABC відомо, що AC = 23 см, BC = 30 см, відрізок AM — медіана, AM = 10 см.

На продовженні відрізка AM за точку M відкладемо відрізок MD, який дорівнює медіані AM (рис. 2.6). Тоді AD = 20 см.

У чотирикутнику ABDC діагоналі AD і BC точкою M перетину діляться навпіл (BM = MC за умовою, AM = MD за побудовою). Отже, чотирикутник ABDC — паралелограм.

Оскільки сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів усіх його сторін (див. ключову задачу 1), то AD 2 + BC 2 = 2 (AB 2 + AC 2 ).

1. Сформулюйте теорему косинусів.

2. Гострокутним, прямокутним чи тупокутним є трикутник зі сторонами а, b і с, де а – довжина його найбільшої сторони, якщо:

3. Як пов’язані між собою діагоналі та сторони паралелограма?

2.1.° Знайдіть невідому сторону трикутника ABC, якщо:

2.2.° Знайдіть невідому сторону трикутника DEF, якщо:

2.3.° Сторони трикутника дорівнюють 12 см, 20 см і 28 см. Знайдіть найбільший кут трикутника.

2.4.° Сторони трикутника дорівнюють см, 5 см і 7 см. Знайдіть середній за величиною кут трикутника.

2.5.° Установіть, гострокутним, прямокутним чи тупокутним є трикутник, сторони якого дорівнюють:

1) 5 см, 7 см і 9 см; 3) 10 см, 15 см і 18 см.

2.6.° Сторони трикутника дорівнюють 7 см, 8 см і 12 см. Чи є даний трикутник гострокутним?

2.7.° Доведіть, що трикутник зі сторонами 8 см, 15 см і 17 см є прямокутним.

2.8.° Сторони паралелограма дорівнюють 2 см і 5 см, а один із кутів дорівнює 45°. Знайдіть діагоналі паралелограма.

2.9.° У трапеції ABCD відомо, що BC || AD, BC = 3 см, AD = 10 см, CD = 4 см, ∠D = 60°. Знайдіть діагоналі трапеції.

2.10.° На стороні AB рівностороннього трикутника ABC позначено точку D так, що AD : DB = 2 : 1. Знайдіть відрізок CD, якщо AB = 6 см.

2.11.° На гіпотенузі AB прямокутного трикутника ABC позначено точку M так, що AM : BM = 1 : 3. Знайдіть відрізок CM, якщо AC = BC = 4 см.

2.12.• Дві сторони трикутника дорівнюють 3 см і 4 см, а синус кута між ними дорівнює Знайдіть третю сторону трикутника. Скільки розв’язків має задача?

2.13.• У трикутнику ABC відомо, що ∠C = 90°, AC = 20 см, BC = 15 см. На стороні AB позначено точку M так, що BM = 4 см. Знайдіть відрізок CM.

2.14. На продовженні гіпотенузи AB прямокутного рівнобедреного трикутника ABC за точку B позначено точку D так, що BD = BC. Знайдіть відрізок CD, якщо катет трикутника ABC дорівнює а.

2.15.• У трикутнику ABC відомо, що ∠C = 90°, AB = 13 см, AC = = 12 см. На продовженні гіпотенузи AB за точку B позначено точку D так, що BD = 26 см. Знайдіть відрізок CD.

2.16. Центр кола, вписаного в прямокутний трикутник, знаходиться на відстанях a і b від кінців гіпотенузи. Знайдіть гіпотенузу трикутника.

2.17.• Точка O — центр кола, вписаного в трикутник ABC, BC = a, AC = b, ∠AOB = 120°. Знайдіть сторону AB.

2.18. Дві сторони трикутника, кут між якими дорівнює 60°, відносяться як 5 : 8, а третя сторона дорівнює 21 см. Знайдіть невідомі сторони трикутника.

2.19. Дві сторони трикутника відносяться як 1: 2 і утворюють кут, величина якого становить 30°. Третя сторона трикутника дорівнює 2 см. Знайдіть невідомі сторони трикутника.

2.20. Сума двох сторін трикутника, які утворюють кут величиною 120°, дорівнює 8 см, а довжина третьої сторони — 7 см. Знайдіть невідомі сторони трикутника.

2.21.• Дві сторони трикутника, кут між якими дорівнює 120°, відносяться як 5 : 3. Знайдіть сторони трикутника, якщо його периметр дорівнює 30 см.

2.22.• Дві сторони трикутника дорівнюють 16 см і 14 см, а кут, протилежний меншій із відомих сторін, дорівнює 60°. Знайдіть невідому сторону трикутника.

2.23.• Дві сторони трикутника дорівнюють 15 см і 35 см, а кут, протилежний більшій із відомих сторін, дорівнює 120°. Знайдіть периметр трикутника.

2.24. На стороні BC трикутника ABC позначено точку D так, що CD = 14 см. Знайдіть відрізок AD, якщо AB = 37 см, BC = 44 см і AC = 15 см.

2.25.• На стороні AB трикутника ABC позначено точку K, а на продовженні сторони BC за точку C — точку M. Знайдіть відрізок MK, якщо AB = 15 см, BC = 7 см, AC = 13 см, AK = 8 см, MC = 3 см.

2.26. Одна зі сторін трикутника у 2 рази більша за другу, а кут між цими сторонами становить 60°. Доведіть, що даний трикутник є прямокутним.

2.27.• Доведіть, що коли квадрат сторони трикутника дорівнює неповному квадрату суми двох інших сторін, то протилежний цій стороні кут дорівнює 120°.

2.28. Доведіть, що коли квадрат сторони трикутника дорівнює неповному квадрату різниці двох інших сторін, то протилежний цій стороні кут дорівнює 60°.

2.29. Дві сторони паралелограма дорівнюють 7 см і 11 см, а одна з діагоналей — 12 см. Знайдіть другу діагональ паралелограма.

2.30. Діагоналі паралелограма дорівнюють 13 см і 11 см, а одна зі сторін — 9 см. Знайдіть периметр паралелограма.

2.31.• Діагоналі паралелограма дорівнюють 8 см і 14 см, а одна зі сторін на 2 см більша за другу. Знайдіть сторони паралелограма.

2.32.• Сторони паралелограма дорівнюють 11 см і 23 см, а його діагоналі відносяться як 2 : 3. Знайдіть діагоналі паралелограма.

2.33.•• У трапеції ABCD відомо, що AD || BC, AB = 5 см, BC = 9 см, AD = 16 см, cos A = . Знайдіть сторону CD трапеції.

2.34.•• У трапеції ABCD відомо, що AD || BC, AB = см, BC = 6 см, CD = 4 см, AD = 11 см. Знайдіть косинус кута D трапеції.

2.35.•• Знайдіть діагональ AC чотирикутника ABCD, якщо навколо нього можна описати коло і AB = 3 см, BC = 4 см, CD = 5 см, AD = 6 см.

2.36.•• Чи можна описати коло навколо чотирикутника ABCD, якщо AB = 4 см, AD = 3 см, BD = 6 см і ∠C = 30°?

2.37.•• Доведіть, що проти більшого кута паралелограма лежить більша діагональ. Сформулюйте та доведіть обернене твердження.

2.38.•• Сторони трикутника дорівнюють 12 см, 15 см і 18 см. Знайдіть бісектрису трикутника, проведену з вершини його найбільшого кута.

2.39.•• Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 5 см, а бічна сторона — 20 см. Знайдіть бісектрису трикутника, проведену з вершини кута при його основі.

2.40.•• Сторони трикутника дорівнюють 16 см, 18 см і 26 см. Знайдіть медіану трикутника, проведену до його більшої сторони.

2.41.•• Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 4 см, а медіана, проведена до бічної сторони, — 5 см. Знайдіть бічну сторону трикутника.

2.42.•• Дві сторони трикутника дорівнюють 12 см і 14 см, а медіана, проведена до третьої сторони, — 7 см. Знайдіть невідому сторону трикутника.

2.43.•• У трикутнику ABC відомо, що AB = BC, ∠ABC = 120°. На продовженні відрізка AB за точку B позначено точку D так, що BD = 2AB. Доведіть, що трикутник ACDрівнобедрений.

2.44.•• Доведіть, що в трикутнику зі сторонами a, b і c виконується рівність де mc — медіана трикутника, проведена до сторони, довжина якої дорівнює c.

2.45. У колі проведено діаметр AC і хорду AB, яка дорівнює радіусу кола. Знайдіть кути трикутника ABC.

2.46. Один із кутів, утворених при перетині бісектриси кута паралелограма з його стороною, дорівнює одному з кутів паралелограма. Знайдіть кути паралелограма.

2.47. У трикутник ABC вписано паралелограм ADEF так, що кут A у них спільний, а точки D, E і F належать відповідно сторонам AB, BC і AC трикутника. Знайдіть сторони паралелограма ADEF, якщо AB = 8 см, AC = 12 см, AD : AF = 2 : 3.

ГОТУЄМОСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОЇ ТЕМИ

2.48. Знайдіть кут ADC (рис. 2.7), якщо ∠ABC = 140°.

2.49. Знайдіть кут ABC (рис. 2.8), якщо ∠ADC = 43°.

2.50. Відрізок AB — діаметр кола, радіус якого дорівнює R, ∠ABC = а (рис. 2.9). Знайдіть хорду AC.

Як знайти синус?

Вивчення геометрії допомагає розвивати мислення. Цей предмет обов’язково входить в шкільну підготовку. У життєдіяльності знання цього предмета може стати в нагоді – наприклад, при плануванні квартири.

З історії

В рамках курсу геометрії вивчається також тригонометрія, яка досліджує тригонометричні функції. У тригонометрії ми вивчаємо синуси, косинуси, тангенси і котангенс кута.

Але на даний момент почнемо з найпростішого – синуса. Давайте розглянемо більш детально саме перше поняття – синус кута в геометрії. Що таке синус і як його знайти?

Поняття «синус кута» і синусоїди

Синус кута – це співвідношення значень протилежної катета і гіпотенузи прямокутного трикутника. Це пряма тригонометрическая функція, яка на листі позначається як «sin (x)», де (х) – кут трикутника.

На графіку синус кута позначається синусоїдою зі своїми особливостями. Синусоїда виглядає як безперервна хвилеподібна лінія, яка лежить в певних рамках на площині координат. Функція непарна, тому симетрична відносно 0 на площині координат (виходить з початку відліку координат).

Область визначення цієї функції лежить в діапазоні від -1 до +1 на декартовій системі координат. Період функції синус кута становить 2 Пі. Це означає, що кожні 2 Пі малюнок повторюється, і синусоїда проходить повний цикл.

Рівняння синусоїди

  • sin х = a / c
  • де а – противолежащий до кута трикутника катет
  • с – гіпотенуза прямокутного трикутника

Властивості синуса кута

  1. sin (x) = – sin (x). Ця особливість демонструє, що функція симетрична, і якщо відкласти на системі координат в обидві сторони значення х і (-х), то ординати цих точок будуть протилежними. Вони перебуватимуть на рівній відстані один від одного.
  2. Ще однією особливістю цієї функції є те, що графік функції зростає на відрізку [- П / 2 + 2 Пn] – [П / 2 + 2Пn], де n – будь-яке ціле число. Спадання графіка синуса кута буде спостерігатися на відрізку: [П / 2 + 2 Пn] – [3П / 2 + 2Пn].
  3. sin (x)> 0, коли х лежить в діапазоні (2Пn, П + 2Пn)
  4. (X) lt; 0, коли х знаходиться в діапазоні (-П + 2Пn, 2Пn)

Значення синусів кута визначаються за спеціальними таблицями. Створені такі таблиці для полегшення процесу підрахунку складних формул і рівнянь. Вона легка у використанні і містить значення не тільки функції sin (x), але також і значення інших функцій.

Більше того, таблиця стандартних значень цих функцій включена до обов’язкового вивчення напам’ять, як таблиця множення. Особливо це актуально для класів з фізико-математичним ухилом. У таблиці можна побачити значення основних використовуваних в тригонометрії кутів: 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 120, 135, 150, 180, 270 і 360 градусів.

значення кута alpha- (градусів)0153045607590120135150180270360
значення кута alpha- в радіанах (через число пі)0pi- / 12pi- / 6pi- / 4pi- / 35pi- / 12pi- / 22pi- / 33pi- / 45pi- / 6pi-3pi- / 22pi-
sin (синус)0radic-3-1 / 2radic-21/2radic-2/2radic-3/2radic-3 + 1 / 2radic-21radic-3/2radic-2/21/20-10

Також існує таблиця, яка визначає значення тригонометричних функцій нестандартних кутів. Користуючись різними таблицями, можна без зусиль обчислити синус, косинус, тангенс і котангенс деяких кутів.

З тригонометричними функціями складаються рівняння. Вирішувати ці рівняння легко, якщо знати прості тригонометричні тотожності та приведення функцій, наприклад, такі, як sin (П / 2 + х) = cos (x) та інші. Для таких привидів також складена окрема таблиця.

Як знайти синус кута

Коли стоїть завдання знайти синус кута, а за умовою у нас є тільки косинус, тангенс, або котангенс кута, ми легко можемо обчислити потрібне за допомогою тригонометричних тотожностей.

Виходячи з цього рівняння, ми можемо знайти як синус, так і косинус, залежно від того, яке значення невідомо. У нас вийде тригонометричне рівняння з одним невідомим:

З цього рівняння можна знайти значення синуса, знаючи значення котангенса кута. Для спрощення замініть sin 2 x = у, і тоді у вас вийде просте рівняння. Наприклад, значення котангенса дорівнює 1, тоді:

Тепер виконуємо зворотний заміну Ігрека:

Оскільки ми взяли значення котангенса для стандартного кута (45 0 ), Отримані значення можна перевірити по таблиці.

Якщо у вас дано значення тангенса, а потрібно знайти синус, допоможе ще одне тригонометричну тотожність:

Для того щоб знайти синус нестандартного кута, наприклад, 240 0 , необхідно скористатися формулами приведення кутів. Ми знаємо, що pi- у нас відповідає 180 0 . Таким чином, ми висловимо наше рівність за допомогою стандартних кутів шляхом розкладання.

Нам необхідно знайти наступне: sin (180 0 + 60 0 ). У тригонометрії є формули приведення, які в даному випадку знадобляться. Це формула:

Таким чином, синус кута 240 градусів дорівнює:

У нашому випадку, х = 60, а П, відповідно, 180 градусам. Значення (-radic-3/2) ми знайшли по таблиці значень функцій стандартних кутів.

Таким чином можна розкласти нестандартні кути, наприклад: 210 = 180 + 30.

У підручниках та інтернеті можна зустріти безліч формул для розрахунку тригонометричних рівнянь – віднімання, додавання, множення і ділення тригонометричних функцій різних кутів один на одного, піднесення в ступені і перетворення однієї функції в іншу за допомогою простих тотожностей і багато інших операцій.

Додаткову інформацію щодо синусів і косинусів можна отримати в статтях: