1. Рівнобедрений трикутник. Медіана, бісектриса і висота рівнобедреного трикутника.

У задачах часто зустрічається трикутник із рівними сторонами. Такі трикутники мають особливі властивості.

На рисунку зображено рівнобедрений трикутник \(ABC\) з бічними сторонами \(AB\) \(і\) \(BC\) та основою \(AC.\)

Зазначимо, що рівносторонній трикутник також є рівнобедреним, причому будь-які дві його сторони можна вважати бічними.

Першу й другу властивості можна довести, якщо доведемо рівність двох трикутників, які утворюються, коли з протилежного до основи кута провести бісектрису \(BD.\)

\(3.\) ∠ ADB = ∠ CDB — оскільки суміжні кути, сума яких дорівнює 180 ° \(,\) рівні, то кожен із них дорівнює 90 ° \(,\) тобто медіана є висотою.

Наслідок (ознака рівностороннього трикутника)
Якщо в трикутнику всі кути рівні, то він рівносторонній.

Наслідок
У рівносторонньому трикутнику медіана, бісектриса й висота, проведені з однієї вершини, збігаються.

На практиці для розв’язування задач замість доведеної теореми часто використовують твердження про збіг лише двох із трьох зазначених відрізків:
\(1)\) якщо в трикутнику медіана й висота, проведені з однієї вершини, збігаються, то такий трикутник є рівнобедреним;
\(2)\) якщо в трикутнику бісектриса й висота, проведені з однієї вершини, збігаються, то такий трикутник є рівнобедреним;
\(3)\) якщо в трикутнику медіана й бісектриса, проведені з однієї вершини, збігаються, то такий трикутник є рівнобедреним.

Медіани трикутника, їх властивості та використання для розв’язування задач

Медіана трикутника – це відрізок, що з’єднує вершину трикутника з серединою протилежної сторони, а також пряма, яка містить цей відрізок.

Кожен трикутник має рівно три медіани, по одній з кожної вершини, і всі вони перетинаються в центрі трикутника. У разі рівнобедреного і рівностороннього трикутників, медіана ділить навпіл будь-який кут у вершині для якого дві суміжні сторони рівні.

Розглянемо властивості медіан трикутника:

Медіани трикутника перетинаються в точці О

Медіани трикутника ABC

Медіана AD трикутника ABC

Медіана трикутника – розв’язування задач:

Приклад 1: у трикутнику сторони і дорівнюють та відповідно і . Знайти медіану, проведену до сторони .

Для початку, за теоремою косинусів, знайдемо сторону заданого трикуника:

Тобто, . Далі, скористаємося формулою для обчислення довжини медіани , отримаємо:

Приклад 2: нехай точка – середина сторони паралелограма . Відрізки і перетинаються в точці . Знайдіть , якщо .

Паралелограм ABCD

Отже, нехай – точка перетину діагоналей паралелограма. Як відомо, діагоналі паралелограма в точці перетину діляться навпіл, тому – медіана трикутника . Тоді – точка перетину медіан даного трикутника. А, як зазначалося вище, медіани трикутника в точці перетину діляться у відношенні , рахуючи від вершини, тому .

Приклад 3: усередині прямокутного трикутника ( ) взята точка так, що трикутники рівновеликі. Знайти , якщо відомо, що .

Прямокутний трикутник ABC

За умовою, трикутники рівновеликі. Це відразу ж наводить на думку про те, що – точка перетину медіан трикутника , а тому подальші обчислення являються очевидними:

Як діляться медіани рівнобедреного трикутника