§ 37. Рівняння стану ідеального газу. Об’єднаний газовий закон

Рівняння стану ідеального газу. Універсальна газова стала. Як уже зазначалося, ідеальний газ є найпростішою термодинамічною системою. Стан газу певної маси повністю визначений, якщо відомі його тиск, температура та об’єм. Ці величини називають параметрами стану газу. Якщо ці параметри змінюються, то в газі відбувається той або інший процес. У природі часто протікають процеси, у яких одночасно змінюються всі три величини, що характеризують стан газу. Рівняння, що зв’язує параметри стану цього газу (р, V, Т), називають рівнянням стану ідеального газу.

Слід зазначити, що задовго до того, як рівняння стану ідеального газу було виведено на основі молекулярно-кінетичних уявлень, закономірності поведінки газів у різних умовах були досить добре досліджені експериментально. Саме тому рівняння стану ідеального газу можна розглядати як узагальнення експериментальних фактів, що знаходять своє пояснення в молекулярно-кінетичній теорії.

Нині рівняння стану ідеального газу легко можна вивести з основного рівняння МКТ. Урахувавши рівняння

одержимо ще один вираз основного рівняння МКТ газів:

де p — тиск газу, n — концентрація молекул ідеального газу, K — стала Больцмана, T — абсолютна температура газу. Далі,

Добуток сталої Авогадро N_А на сталу Больцмана k є також сталою величиною, яку називають універсальною (молярною) газовою сталою й позначають R = N_Аk. Підрахуємо значення універсальної газової сталої:

Отже, ми отримали з основного рівняння МКТ газів рівняння, яке містить тільки макроскопічні (термодинамічні) характеристики стану газу і яке називають рівнянням стану ідеального газу. Це рівняння ще називають рівнянням Менделєєва — Клапейрона:

Рівняння Менделєєва — Клапейрона дає змогу визначити один невідомий параметр стану ідеального газу, якщо інші параметри відомі, для газу будь-якого хімічного складу й довільної маси m. Єдина величина в цьому рівнянні, що залежить від виду газу, — це його молярна маса М.

Якщо врахувати, що густина газу

то рівняння Менделєєва — Клапейрона матиме вигляд

Для суміші газів рівняння набуває вигляду: pV = (ν₁ + ν₂ + . + ν_n) RT, де ν₁, ν₂, . — кількості речовини кожного з газів суміші.

Для одного моля (v = 1 моль) довільного газу це співвідношення набуває вигляду pV = RT.

Отже, виведене на підставі молекулярно-кінетичних уявлень рівняння підтверджує ще один встановлений експериментально закон. Якщо в це рівняння підставити значення тиску й температури, що відповідають нормальним умовам (T = 273,15 K (0 °С), p = 1 атм = 1,013 • 10 5 Па), то один моль будь-якого газу займає об’єм V₀ = 0,0224 м 3 . Це твердження називають законом Авогадро.

Лише за тиску в сотні атмосфер (коли виявляє себе об’єм молекул газу) і за температур, близьких до температур зрідження газу (внаслідок великої сили взаємодії молекул), відхилення від результатів розрахунків за рівнянням стану ідеального газу стають істотними.

Об’єднаний газовий закон. У природі часто відбуваються процеси, коли водночас змінюються всі три параметри стану газу, при цьому маса газу залишається незмінною (m = const). Якщо параметри на початку процесу, який відбувається з газом певної маси, позначити через p₁, V₁, T₁, а їх значення в кінці процесу — через p₂, V₂, T₂, то

Оскільки праві частини обох виразів однакові, однакові і їхні ліві частини. Отже, для газу незмінної маси:

— під час переходу газу незмінної маси з одного стану в інший добуток його тиску на об’єм, поділений на термодинамічну температуру газу, є величиною сталою.

Рівняння стану ідеального газу

виведене в 1834 р. французьким фізиком Бенуа Клапейроном (1799-1864), який протягом десяти років працював у Росії. У 1874 р. видатний російський учений Дмитро Менделєєв удосконалив формулу рівняння стану, ввівши макроскопічний параметр — масу газу. Саме тому рівняння

називають рівнянням Менделєєва — Клапейрона.

Співвідношення між значеннями тих чи інших параметрів на початку та в кінці процесу називається газовим законом. Рівняння Клапейрона

ще називають об’єднаним газовим законом.

ЗНАЮ, ВМІЮ, РОЗУМІЮ

• 1. Що таке параметри стану системи? Які величини до них належать?
• 2. Виведіть рівняння Менделєєва — Клапейрона для довільної маси ідеального газу.
• 3. Виведіть рівняння Клапейрона. Як формулюється об’єднаний газовий закон?
• 4. Чому дорівнює універсальна газова стала в СІ?
• 5. Чому дорівнює об’єм одного моля будь-якого газу за нормальних умов?

Приклади розв’язування задач

Задача. У приміщенні об’ємом V = 100 м 3 після роботи обігрівача температура повітря 1 збільшилася від t₁ = 17 °С до t₂ = 22 °С. Яка маса Δm повітря, що вийшло з кімнати? Атмосферний тиск p = 105 Па.

1 У цій і наступних задачах, якщо немає спеціальних застережень, повітря вважайте однорідним газом, молярна маса якого становить 0,029 кг/моль.

1. Визначте густину водню за температури 127 °С і тиску 830 кПа.

2. Який тиск стиснутого повітря, що міститься в балоні ємністю 20 л за 12 °С, якщо маса цього повітря 2 кг?

3. Густина деякої газоподібної речовини за температури 10 °С й нормального атмосферного тиску дорівнює 2,5 кг/м 3 . Визначте молярну масу цієї речовини.

4. Яка кількість речовини міститься в газі, якщо за температури 240 К і під тиском 200 кПа його об’єм дорівнює 40 л?

5. Газ за тиску 0,2 МПа і температури 15 °С має об’єм 5 л. Визначте об’єм цього газу за нормальних умов.

6. У балоні міститься газ, температура якого 15 °С. У скільки разів зменшиться тиск газу, якщо 40 % його вийде з балона, а температура при цьому зменшиться на 8 °С?

7. Пробірку, перевернуту догори дном, занурили у воду на деяку глибину. Яка концентрація повітря у пробірці на глибині 3 м? Температура води та повітря однакові й дорівнюють 20 °С. Атмосферний тиск 760 мм рт. ст.

8. Кулю із жорсткою оболонкою масою 11,6 г заповнили воднем. Об’єм водню — 10 л. Температура водню та повітря, що оточує кулю, — 0 °С. Визначте тиск водню в кулі, якщо результуюча піднімальна сила, яка діє на кулю, дорівнює нулю.

9. Повітряна куля об’ємом 2500 м 3 і масою оболонки 400 кг має внизу отвір, через який повітря в кулі нагрівається пальником. Визначте максимальну масу вантажу, який може підняти куля, якщо повітря в ній нагрівати до температури 77 °С. Температура навколишнього повітря 7 °С, його густина — 1,2 кг/м 3 . Оболонку кулі вважайте нерозтяжною.

§ 24. Ідеальний газ. Тиск газу. Температура

ІДЕАЛЬНИЙ ГАЗ. Вивчення агрегатного стану речовини передбачає встановлення зв’язків між різними величинами, що характеризують її властивості, — параметрами. Характеристики молекул газу називають мікроскопічними параметрами. До них належать маса молекул, їхня швидкість і кінетична енергія хаотичного поступального руху. Параметри газу як фізичного тіла називаються макроскопічними. До них належать об’єм, тиск і температура. Отже, одним із головних завдань молекулярно-кінетичної теорії є встановлення зв’язків між макроскопічними і мікроскопічними параметрами газу. З метою його виконання створено модель ідеального газу, в якій передбачається, що об’єм молекул газу надзвичайно малий порівняно з розмірами посудини, в якій він міститься, між ними не діють сили притягання, а під час зіткнень молекул між собою і зі стінками посудини діють лише сили відштовхування. Вважають, що зіткнення молекул здійснюється за законами пружних ударів, між якими вона рухається рівномірно й прямолінійно.

Ідеальний газ — газ, у якому молекули можна вважати матеріальними точками, які майже не взаємодіють між собою.

Отже, моделлю такого газу є сукупність матеріальних точок, які хаотично рухаються і взаємодіють між собою та стінками посудини лише під час безпосереднього абсолютно пружного зіткнення. Молекули газу мають форму куль певної маси й рівномірно розподілені по всьому об’єму посудини, у якій він міститься. Рівномірний розподіл молекул ідеального газу зумовлений їх безперервним хаотичним рухом.

За високих тисків і низьких температур газ не може прийматися за ідеальний. Реальні гази лише за незначних тисків і низьких температур наближені за своїми властивостями до ідеального. Отже, вони набувають властивостей ідеального газу лише під час значного розрідження, коли середня відстань між його молекулами істотно перевищує їх розмір. Поведінка реального газу описується законами, відмінними від законів ідеального.

ТИСК ГАЗУ В МОЛЕКУЛЯРНО-КІНЕТИЧНІЙ ТЕОРІЇ. Вам вже відомо, що тиск газу на стінки посудини (чи будь-яку іншу поверхню) зумовлено ударами молекул. Тиск газу, здійснюваний на навколишні тіла, — найголовніша відмінність газу від рідин і твердих тіл.

Молекули газу за кімнатної температури рухаються із надзвуковою швидкістю. Стикаючись із будь-якими тілами (стінки посудини, люди, тварини, автомобілі, скелі), молекули передають їм частину свого імпульсу, а отже, діють на тіла з певною (надзвичайно малою) силою. Натомість стінка діє на молекулу з такою ж силою, але протилежно напрямленою. Якщо кількість молекул у посудині незначна, то удари відбуваються із суттєвими (у масштабі мікросвіту) інтервалами часу, що сприймається не як окрема безперервна дія, а як низка послідовних надзвичайно малих дій. Якщо реальна кількість молекул у посудині велика (крім штучно створюваних умов високого вакууму), то удари відбуватимуться безперервно. Нескінченно малі зусилля окремих молекул додаються, і результуюча дія сприймається як постійно діюча сила. Усереднена за часом результуюча сила дії молекул на одиницю площі посудини і є тиском газу.

Оскільки величезна кількість молекул газу рухається хаотично, то в середньому здійснюється однакова кількість ударів у будь-якому напрямку, а отже, тиск на всі стінки посудини має бути однаковим, що відображено в законі Паскаля. У випадку однієї чи кількох молекул поняття тиску взагалі втрачає сенс. Отже, тиск газу — це величина, яка характеризує стан значної кількості молекул, тобто макроскопічний параметр. За одиницю тиску в СІ приймають такий тиск, за якого на 1 м 2 поверхні на неї діє сила в 1 Н. Цю одиницю називають паскалем:

Якщо газ складається із суміші кількох ідеальних газів, то молекули кожного з них ударяють об стінку посудини незалежно одна від одної. Відповідно до принципу суперпозиції сил тиски газів, які утворюють суміш, додаються. Тиск, який чинить кожен газ окремо, називається парціальним. Твердження: «Тиск суміші ідеальних газів дорівнює сумі парціальних тисків газів, що входять до її складу» вперше сформулював англійський фізик і хімік Д. Дальтон (1766-1844). Так, атмосферний тиск складається із парціальних тисків азоту, кисню та інших газів.

ТЕМПЕРАТУРА. Температура — це фізична величина, про яку ви дізналися з раннього дитинства, як про ступінь нагрітості тіл (холодне, тепле, гаряче), характеристику теплої або холодної в різні пори року погоди, показник стану здоров’я тощо. Побутове поняття температури часто перешкоджає глибокому розумінню її фізичної сутності. Це одна з універсальних фізичних величин, до розуміння сутності якої людство йшло впродовж багатьох віків. Вона є макроскопічним параметром, тому характеризує цілісну сукупність молекул, з яких складається тіло.

Температура — фізична величина, що характеризує тепловий стан системи, й є мірою інтенсивності хаотичного руху молекул в макроскопічному тілі.

У фізиці користуються переважно так званою абсолютною температурою і шкалою Кельвіна. У 1848 р. видатний англійський фізик У. Томсон (лорд Кельвін) (1824-1907) запропонував початок відліку температури здійснювати від точки (температури), при якій припиняється будь-який тепловий рух молекул, тобто прийняти за нуль температуру -273,15 °С. Таку шкалу називають абсолютною температурною шкалою або термодинамічною шкалою температур.

Абсолютний нуль температури — температура при якій припиняється тепловий рух молекул. Тиск та об’єм ідеального газу рівні нулю.

Одиницею температури в СІ є кельвін — одна із семи основних одиниць цієї системи. Головною особливістю термодинамічної шкали є відсутність від’ємних значень температури. Перехід від шкали Цельсія до абсолютної температурної шкали здійснюють так (мал. 24.1): Т = t° + 273,15.

Мал. 24.1. Зв’язок між шкалами температур Цельсія і Кельвіна

Зверніть увагу, що інтервал температур ΔT = Δt°. Отже, для зміни температури 1 °С = 1 К.

Проте нині вже доведено, що навіть за абсолютного нуля молекулярний рух не припинявся б, оскільки молекули здійснюють ще й коливальні рухи. Досягти абсолютного нуля неможливо — це один із основних законів природи. Неможливо досягти також температури, нижчої за абсолютний нуль. Чим ближче температура охолоджуваного тіла до абсолютного нуля, тим складніше здійснюється подальше охолодження. Наразі за допомогою сучасних методів вдалося досягти найнижчої температури — 0,0001 К.

Температура тіла і швидкість руху його молекул тісно пов’язані між собою. Чим вища температура тіла, тим швидше рухаються молекули, тим більша їхня кінетична енергія.

Австрійський фізик Больцман, спираючись на величезну кількість дослідів, довів, що середня кінетична енергія поступального руху молекул газу лінійно залежить від його температури. Для одноатомного ідеального газу вона набуває вигляду:

де k = 1,38 • 10 -23 Дж/К — стала Больцмана.

Стала Больцмана — це фундаментальна фізична величина, яка чисельно дорівнює зміні кінетичної енергії однієї молекули ідеального газу зі зміною його температури на 1 К.

Незважаючи на те, що висновок про зв’язок температури із середньою кінетичною енергією молекул встановлено для газів за нормальних умов, він справедливий також для рідин та твердих тіл.

Головне в цьому параграфі

Одним із важливих завдань молекулярно-кінетичної теорії є встановлення зв’язків між макроскопічними (тиск, температура, об’єм) і мікроскопічними (маса молекули, швидкість, кінетична енергія) параметрами.

Ідеальний газ — газ, у якому молекули можна вважати матеріальними точками, які майже не взаємодіють між собою.

Тиск, який чинить кожен газ окремо, називається парціальним.

Тиск суміші ідеальних газів дорівнює сумі парціальних тисків газів, що входять до її складу.

Температура як термодинамічна величина характеризує тепловий стан системи, як молекулярно-кінетична — інтенсивність хаотичного руху молекул.

Абсолютна температура (Т) — фізична скалярна величина, яка визначається за середньою кінетичною енергією хаотичного поступального руху молекул:

Запитання для самоперевірки

• 1. Що називають мікроскопічними та макроскопічними параметрами газу?
• 2. Що називають ідеальним газом у МКТ?
• 3. Назвіть умови, за яких газ можна вважати ідеальним.
• 4. Який механізм виникнення тиску газу з погляду МКТ?
• 5. Назвіть прилади якими вимірюють тиск газу?
• 6. У чому полягає суть закону Дальтона?
• 7. Якою фізичною величиною характеризується стан теплової рівноваги?
• 8. Поясніть принцип побудови температурних шкал Цельсія і Кельвіна. Встановіть формули, що виражають співвідношення між значеннями температури, вимірюваної за цими шкалами.
• 9. Температура газу збільшилась від 1 до 2 °С. Чи можна сказати, що середня кінетична енергія його частинок збільшилася вдвічі?

Вправа до § 24

1(с). Як зміниться тиск ідеального газу, якщо при його незмінній концентрації середня кінетична енергія молекул зменшиться у 5 разів? Виберіть правильну відповідь.

• А Зменшиться у 5 разів.
• Б Збільшиться у 5 разів.
• В Залишиться незмінним.
• Г Збільшиться у 25 разів.

2(с). Повітря в кімнаті складається із суміші газів: водню, кисню, азоту, водяної пари, вуглекислого газу тощо. Який з фізичних параметрів цих газів обов’язково однаковий під час теплової рівноваги?

• А Тиск.
• Б Середній квадрат швидкості теплового руху молекул.
• В Концентрація.
• Г Середня кінетична енергія молекул.

3(с). Що таке абсолютний нуль?

• А Температура, за якої припинився б тепловий рух молекул.
• Б Температура, за якої замерзає вода.
• В Характеристика ступеня нагрітості тіла.
• Г Сумарна кількість ударів молекул об певну поверхню.

4(д). Визначте температуру газу, якщо середня кінетична енергія хаотичного руху його молекул становить 5,6 • 10 -21 Дж.

5(д). В одній посудині міститься водень, а в іншій хлор при однаковій температурі і концентрації. Порівняйте тиски р₁ і р₂ цих газів.

6(д). При якій температурі середня кінетична енергія руху молекул одноатомного газу буде вдвічі більша, ніж при температурі -3 °С?

7(д). Визначте середню квадратичну швидкість атомів гелію за нормальних умов, якщо відомо, що маса атома гелію рівна 6,68 • 10 -27 кг?

8(в). На скільки відсотків збільшиться середня кінетична енергія руху молекул газу при збільшенні його температури від 7 до 35 °С?

Абсолютна температура ідеального газу. Формули. Приклад завдання

Температура – термодинамічна макроскопічна характеристика, яка відіграє важливу роль практично у всіх фізичних процесах. У даній статті зосередимо свою увагу на висвітленні питань, що таке абсолютна температура газу ідеального і як її можна обчислити.

Абсолютна шкала температур

Для початку познайомимося зі шкалою, яка використовується у фізиці для опису температури. Вона називається абсолютною або шкалою Кельвіна. Вперше її ввів у використання англійський фізик лорд Кельвін в 1848 році. При цьому, вчений спирався на завоювала популярність шкалою Цельсія.

Абсолютна температура так називається тому, що вона має нижню межу – 0 кельвін, при якому вважається “замороженим” будь-який вид руху (насправді при 0 К існують так звані нульові коливання). Верхньої межі у цієї шкали немає.

З градусами Цельсія C абсолютна шкала T пов’язана наступним простим рівнянням:

На відміну від інших температурних шкал, наприклад, від шкали Фаренгейта, кельвін має точно такий же масштаб, що і градус Цельсія. Останнє означає, що для перекладу в абсолютну будь температури за Цельсієм досить додати до неї число 273,15. Так, за шкалою Кельвіна вода замерзає при 273,15 К, а кипить при 373,15 К.