Комбінаторні задачі
Скільки трицифрових чисел можна скласти з цифр 3, 4, 7? Цифри не повинні повторюватися.
Скільки двоцифрових чисел можна записати за допомогою цифр 3, 4, 0 ? Цифри можуть повторюватися.
У Вінні-Пуха є дві ромашки, дві троянди і дві лілії. Скількома способами він може скласти букет для Сови, якщо хоче щоб у букеті було 5 квіток?
Скільки трицифрових чисел можна записати за допомогою цифр 5 і 7? (Цифри в числі можуть повторюватися)
Іванка має вибрати наряд з трьох пар туфель і чотирьох суконь. Скільки варіантів вибору у неї є?
У меню шкільної їдальні є два види салату, два види першої страви і два види другої страви. Скільки варіантів вибрати обід має учень цієї школи, якщо обід складається із салату, першої страви і другої страви?
Елементи комбінаторики
Скільки парних п’ятизначних чисел можна утворити з цифр 0, 1, 2, 3, 4 так, щоб усі числа були різними?
♦ Парними будуть числа, що закінчуються на 0, 2, 4. Кількість чисел, які закінчуються нулем дорівнює числу перестановок з чотирьох цифр (1, 2, 3, 4), тобто Р 4 .
Числа, що закінчуються на 2, утворюються із цифр 0, 1, 3, 4 їх різноманітними перестановками, кількість яких Р4. Проте цифра нуль не може стояти на першому місці. Тому з Р4 вилучаєсо кількість чисел які утворюються із цифр 1, 3 та 4, тобто Р3.
Аналогічно можна знайти кількість числе, що закінчуються на 4.
Отже, всього парних п’ятизначних чисел можна утворити n = 3 Р4 – 2 Р3 = 3·4! – 2·3! = 60.♦
Приклад
Команда з “Клубу знавців” у складі шести осіб займає місця за круглим столом. Скільки є можливих варіантів розміщення гравців? Скільки таких варіантів у випадку, коли два провідних члени команди повинні сісти поруч?
♦ У першому випадку кількість способів розміщення гравців дорівнює числу перестановок з 6 елементів, тобо Р 6 = 6! = 720. У другому випадку для двох виділених осіб є шість різних сусідніх пар місць, на кожному з яких ці дві особи можуть сісти двома способами (один біля одного ліворуч або праворуч). Отже, посадити їх можна 12 способами. На місця, що залишаться, решту членів команди можна розсадити Р 4 способами. За правилом добутку дістаємо кількість усіх варіантів розміщень: 12·4!=288.♦
Приклад
У шаховому турнірі, де учасники зустрічаються між собою один раз, три шахісти вибули через хворобу, зігравши відповідно одну, дві та три партії з учасниками, що залишились у турнірі. Скільки шахістів розпочали турнір, якщо всього було зіграно 84 партії.
♦ Позначимо через n число учасників турніру. Оскільки три з них вибуло, зігравши в сумі 1 + 2 + 3 = 6 партій, то в останніх 84 – 6 = 78 партіях взяло участь n – 3 учасники. Отже, , тобто , або , звідки дістаємо один додатний корінь n = 16. ♦
Приклад
Студенти одного з курсів вивчають 8 навчальних дисциплін. Скількома способами можна скласти розклад занять на понеділок, якщо в цей день треба запаланувати три лекції з різних предметів?
♦ Кількість таких способів дорівнює числу розміщень з 8 елементів по 3, тобто .♦