Прямокутний паралелепіпед

1) Паралелепіпед, усі грані якого — прямокутники, називають прямокутним паралелепіпедом .

2) Ребра, що виходять з однієї вершини прямокутного парале лепіпеда, взаємно перпендикулярні (при кожній вершині існує три такі ребра).

3) Довжини непаралельних ребер прямокутного паралелепіпеда називають його лінійними розмірами (вимірами).

4) Квадрат будь-якої діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів трьох його лінійних вимірів.

5) Об’єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку довжин трьох його ребер, що виходять з однієї вершини: V = abc .

6) Усі діагоналі прямокутного паралелепіпеда рівні.

7) Центром симетрії прямокутного паралелепіпеда є точка перетину його діагоналей.

8) Прямокутний паралелепіпед має три площини симетрії, що проходять через середини паралельних ребер.

9) Прямокутний паралелепіпед має три осі симетрії,що проходять через точки перетину діагоналей протилежних граней.

10) Площа бічної поверхні прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку периметра основи на висоту прямокутного паралелепіпеда: S_б =Р_осн.·Н.

11) Якщо площі граней прямокутного паралелепіпеда дорівнюють S₁ , S₂ , S₃ , то об’єм цього паралелепіпеда дорівнює

12) У прямокутному паралелепіпеді з вимірами a, b, c відстань між мимобіжними діагоналями суміжних бічних граней дорівнює

13) У прямокутному паралелепіпеді кут між мимобіжними діагоналями бічних граней дорівнює добутку синусів кутів нахилу кожній із цих діагоналей до площини основи.

Діагональ прямокутного паралелепіпеда – формули та приклади

У загальному випадку діагональ є відрізком, що з’єднує вершини двох кутів, що не належать одній стороні багатогранника. Прямокутний паралелепіпед у свою чергу складається із шести граней, що є прямокутниками.

Прямокутний паралелепіпед має чотири діагоналі. Причому ці відрізки рівні між собою, перетинаються в одній точці і діляться в ній пополам.

Зазначимо, що в даній публікації ми дізнаємося про формулу, за якою можна обчислити діагональ прямокутного паралелепіпеда. Крім того, будемо використовувати цю формулу для вирішення деяких практичних задач.

Навігація по сторінці.

Що таке діагональ прямокутного паралелепіпеда?

Діагональ прямокутного паралелепіпеда – це пряма, яка сполучає протилежні його вершини.

Як і у випадку з кубом, діагоналі у прямокутному паралелепіпеді можуть бути проведені не тільки у внутрішньому просторі фігури, а й на бічних гранях, і у гранях основ. В останньому випадку зазвичай уточнюється, що йдеться про діагоналі бічної грані або діагоналі основи.

До прикладу, на рисунку, що міститься вище, і – діагональ грані та внутрішня діагональ прямокутного паралелепіпеда відповідно.

Властивості діагоналей прямокутного паралелепіпеда.

• в прямокутного паралелепіпеда чотири внутрішні діагоналі;
• діагоналі прямокутного паралелепіпеда рівні між собою;
• діагоналі прямокутного паралелепіпеда перетинаються в одній точці і діляться в ній пополам;
• сума квадратів всіх діагоналей прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів усіх його ребер;
• квадрат діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів трьох його сторін.

Формула для обчислення довжини діагоналі прямокутного паралелепіпеда.

Згідно з однією з властивостей діагоналей паралелепіпеда, квадрат діагоналі дорівнює сумі квадратів трьох його сторін. Звідси випливає, що сама довжина діагоналі може бути розрахована за допомогою добування кореня з цієї суми.

Тобто, якщо, розглянути прямокутний паралелепіпед , то, для обчислення його діагоналі , ми можемо скористатися наступною формулою:

Зауваження: якщо позначити довжину, ширину, висоту та діагональ прямокутного папалелепіпеда буквами , , і відповідно, то формула внутрішньої діагоналі перепишуться у більш звичній буквенній формі:

Діагональ прямокутного паралелепіпеда – приклади з відповідями.

У наступних прикладах ми будемо використовувати формули для знаходження діагоналей прямокутного паралелепіпеда. Рекомендується спробувати розв’язати задачі самостійно, перш ніж переглядати рішення.

Приклад 1: яка кількість діагоналей в прямокутному паралелепіпеді?

Прямокутний паралелепіпед має чотири бічних грані і дві грані основи. Дві діагоналі, що з’єднують несуміжні вершини на кожній з цих граней, і чотири діагоналі, що проходять через тіло паралелепіпеда.

Отже, всього в прямокутному паралелепіпеді 8+4+4=16 діагоналей.

Приклад 2: яка формула для обчислення довжини діагоналі прямокутного паралелепіпеда?

Довжина діагоналі прямокутного паралелепіпеда обчислюється за наступною формулою: , де – довжина, – ширина і – висота паралелепіпеда відповідно.

Приклад 3: прямокутний паралелепіпед має наступні розміри: довжина – , ширина – і висота – . Яка довжина його діагоналі?

За умовою маємо, що сторони паралелепіпеда рівні 5, 4 і 3 сантиметра відповідно. Зазначимо, що цього достатньо, щоб знайти довжину його діагоналі:

Таким чином, внутрішня діагональ прямокутного паралелепіпеда дорівнює .

Приклад 4: знайти довжину діагоналі прямокутного паралелепіпеда, якщо довжина, ширина та висота його основи дорівнюють , і відповідно.

За умовою маємо, що , , . Підставивши задані значення у формулу діагоналі паралелепіпеда матимемо:

Отже, довжина діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює .

Приклад 5: яка довжина діагоналі прямокутного паралелепіпеда з довжиною основи , шириною і висотою ?

Зазначимо, що у цьому випадку сторона паралелепіпеда дорівнюють , і . Використовуючи ці значення у формулі внутрішньої діагоналі, будемо мати:

Звідси, внутрішня діагональ прямокутного паралелепіпеда дорівнює .

Дивіться також:

Хочете дізнатися більше про прямокутний паралелепіпед? Перегляньте ці сторінки: