Зміст:
Діагоналі ромба – формули та приклади
Діагональ ромба – це відрізок, який сполучає будь-які дві несусідні вершини ромба.
Ромб має дві діагоналі, які ділять одна одну навпіл під прямим кутом. Таким чином, вони утворюють 4 рівних прямокутних трикутника.
Давайте дізнаємося більше про діагональ ромба в цій статті.
Що таке діагоналі ромба?
При з’єднанні протилежних вершин ромба утворюються діагоналі ромба. Як уже зазначалося вище, у ромба дві діагоналі, які перетинаються під кутом .
На рисунку, що міститься нижче, і – діагоналі ромба .
Властивості діагоналей ромба.
В наступному списку перелічені властивості діагоналей ромба:
- діагоналі ромба ділять одна одну навпіл під прямим кутом;
- діагоналі ромба не обов’язково повинні бути рівними;
- дві діагоналі ділять ромб на чотири рівних прямокутних трикутника;
Формули діагоналі ромба.
Довжину діагоналей ромба можна обчислити різними методами, наприклад, за теоремою Піфагора, використовуючи сторону та кут або використовуючи площу ромба.
Отже, якщо відома довжина стороін ромба , а також, довжини однієї з його діагоналей, до прикладу , то для обчислення довжини діагоналі , можна скористатись теоремою Піфагора:
Зазначимо, що це можливо тому, що, згідно з властивістю, дві половини діагоналей утворюють зі стороною ромба прямокутний трикутник. Половини діагоналей в ньому є катетами, а сторона – гіпотенузою.
Формула діагоналі ромба через сторону та кут.
При відомій величині одного з внутрішніх кутів ромба і довжині його сторони, діагоналі ромба можна обчислити за наступними формулами:
Для виведення даних формул, знову-таки, розглянемо ромб . Для даного ромба знайдемо величину коротшої діагоналі.
Отже, виходячи з того, що діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом, трикутник – прямокутний. Половина короткої діагоналі – це катет цього трикутника і її можна знайти через гіпотенузу та кут .
Крім того, діагоналі ромба є бісектрисами його кутів, тому . Значить, .
Таким чином, коротка діагональ ромба дорівнює .
Аналогічним чином здійснюється виведення формули довжини іншої діагоналі ромба.
Формула діагоналі ромба через його площу.
У випадку, коли крім довжини однієї з діагоналей ромба відома виличина його площі, для знаходження довжини другої діагоналі необхідно подвоїти площу і розділити отримане значення на довжину відомої діагоналі.
До прикладу, якщо в ромбі відомі площа і діагональ , іншу діагональ ромба можна обчислити за формулою:
Ми знаємо, що обидві діагоналі ділять одна одну навпіл під прямим кутом, а дві діагоналі ділять ромб на чотири рівних прямокутних трикутника. Тепер, використовуючи ці властивості, розглянемо, як виводиться формула для знаходження діагоналі ромба.
Отже, оскільки трикутники рівні, їх площі також рівні ( ). Тоді, площа ромба дорівнюватиме сумі площ трикутників, з яких він складається, тобто .
Скориставшись далі, формулою площі трикутника, а саме , будемо мати:
Тепер, використовуючи останній вираз, запишемо формулу для невідомої діагоналі. Тобто, якщо – невідома діагональ ромба, формула для обчислення її довжини матиме вигляд .
Таким чином, формула діагоналі ромба через відомі площу і діагональ виведена.
Зауваження: якщо позначити довжину сторін та діагоналей ромба буквами , і відповідно, то формули діагоналі перепишеться у більш звичній буквенній формі:
Діагональ ромба – приклади з відповідями.
Приклад 1: знайти довжину діагоналі ромба, якщо площа дорівнює , а одна з діагоналей – .
За умовою, маємо, що довжина діагоналі ромба дорівнює , а його площа – . Знайдемо довжину другої діагоналі за такими параметрами:
Отже, довжина невідомої діагоналі ромба дорівнює .
Приклад 2: знайти довжину другої діагоналі ромба, якщо перша діагональ дорівнює , а сторона – .
Отже, за умовою маємо, що сторона і діагональ ромба дорівнюють і відповідно. Використавши формулу діагоналі із заданими значенням матимемо:
Отже, довжина невідомої діагоналі ромба дорівнює .
Приклад 3: периметр ромба дорівнює , а одна з його діагоналей – . Знайти іншу діагональ ромба.
В даному випадку, знаючи периметр ромба, потрібно знайти невідому діагональ.
Отже, ми знаємо, що всі сторони ромба рівні за довжиною, а периметр дорівнює . Таким чином, довжина кожної сторони ромба дорівнює .
Тепер, коли довжина сторони відома, як і у попередньому прикладі, для обчислення довжини другої діагоналі, застосуємо формулу, що випливає з теореми Піфагора:
Таким чином, довжина невідомої діагоналі ромба дорівнює .
Приклад 4: площа ромба дорівнює , а одна діагональ – . Чому дорівнює друга діагональ ромба?
Як зазначалося вище, якщо одна діагональ ромба відома разом з його площею, то іншу діагональ можна обчислити за формулою . Підставляючи задані значення у цю формулу, будемо мати:
Отже, довжина невідомої діагоналі ромба дорівнює .
Приклад 5: сторона ромба дорівнює , гострий кут дорівнює . Знайти діагоналі ромба.
Отже, скориставшись формулами обчислення діагоналей через сторону та кут матимемо:
Звідси, менша діагональ ромба дорівнює , а більша – .
Дивіться також:
Хочете дізнатися більше про ромб? Перегляньте ці сторінки:
Властивості ромба
Властивості діагоналей ромба
Тепер ми знаємо що таке ромб та які в нього властивості. Знаємо що діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом, також вони одночасно є бісектрисами кутів ромба. Ще одна властивість, що у будь який ромб можна вписати коло і центр кола буде одночасно і центром ромба.
Навчились визначати площу ромба:
- Через діагоналі;
- Через сторону і кут ромба;
- Через сторону і висоту;
- Через сторону і радіус вписаного кола.
В свою чергу радіус кола, вписаного у ромб, можна обчислити:
- Через висоту ромба;
- Через діагоналі ромба і сторону;
- Через відрізки, на які ділить сторону ромба точка дотику.
Діагональ ромба – що це таке, визначення та поняття
Щоб пояснити це простіше, діагоналі з’єднують кожну вершину з вершиною на протилежній стороні, перетинаючись в центрі фігури.
Однією з характеристик діагоналей ромба є те, що вони перпендикулярні. Тобто, коли вони перетинаються, вони утворюють чотири прямі кути або 90º.
На наступному малюнку діагоналями є відрізки AC і DB.
Ще однією важливою особливістю, яку слід враховувати, є те, що кожен ромб має дві діагоналі, одна більша за іншу. З цієї причини одну називають головною діагоналлю, а іншу – другою. Це, на відміну від квадратів або прямокутників, де дві діагоналі вимірюють однаково.
Слід пам’ятати, що ромб – це чотирикутник (багатокутник з чотирма сторонами), який характеризується тим, що всі його сторони однакові по довжині. Однак його внутрішні кути не всі однакові, але є дві пари гострих кутів (менше 90º), які вимірюють однакові, та ще одна пара тупих кутів (більше 90º), які також ідентичні.
У свою чергу, ромб – це дуже особливий тип чотирикутника, який називається паралелограмом, і характеризується тим, що його протилежні сторони паралельні. Тобто вони не перетинаються навіть у своїх розширеннях. Інший тип паралелограма – це квадрат, прямокутник і ромбоїд.
Як обчислити діагоналі ромба
Для обчислення діагоналі ромба ми повинні врахувати, що, малюючи обидві діагоналі, вони поділяються на дві рівні частини.
Потім утворюються чотири прямокутні трикутники (які мають кут 90º). Під час спостереження за будь-яким з них ми зазначаємо, що гіпотенуза – це сторона ромба, тоді як одна катета – це велика діагональ, поділена на два, а інша ніжка, мала діагональ, поділена на два.
Повертаючись до зображення вище, якщо ми подивимось на трикутник AED, сегмент AD є гіпотенузою. Тим часом відрізки AE та ED – це катети, причому перша – половина головної діагоналі (D / 2), а друга, половина другої діагоналі (d / 2).
Беручи до уваги ці дані, ми можемо застосувати теорему Піфагора, яка говорить нам, що гіпотенуза, піднята квадратом, дорівнює сумі кожного з катетів, піднятих квадратом:
Беручи до уваги цю формулу, ми можемо обчислити діагональ ромба, коли ми знаємо міру іншої діагоналі та сторони фігури.
Приклад діагонального ромба
Припустимо, ми знаємо, що периметр ромба дорівнює 40 метрів, а його велика діагональ вдвічі менша за малу діагональ. Скільки часу має кожна з діагоналей на малюнку?
По-перше, ми пам’ятаємо, що периметр дорівнює довжині сторони, помноженої на чотири:
Тоді ми вирішимо для рівняння, показаного вище: