2. Медіани, бісектриси і висоти трикутника

\(2)\) З’єднати точку, яка є серединою сторони трикутника, з протилежною вершиною трикутника. Це і буде медіана.

У трикутнику можна побудувати три медіани, які перетинаються в одній точці і мають такі властивості:
Медіани трикутника перетинаються в точці, яка є його центром мас.

Медіана поділяє трикутник на два трикутники з рівними площами (рівновеликі), а три проведені медіани — на шість рівновеликих.

В точці перетину медіани трикутника діляться у відношенні 2:1, починаючи з вершини трикутника.
Медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи.

В рівнобедреному трикутнику медіана кута, протилежного до основи трикутника, є його бісектрисою та висотою.

Бісектриса трикутника — це відрізок бісектриси кута трикутника, що сполучає вершину з точкою на протилежній стороні.

\(1)\) Побудувати бісектрису кута трикутника (бісектриса кута — це промінь, що виходить із вершини кута й ділить його на дві рівні частини ).

\(2)\) Знайти точку перетину бісектриси кута трикутника з протилежною стороною.

\(3)\) З’єднати вершину трикутника з точкою перетину бісектриси кута трикутника з протилежною стороною — цей відрізок і буде бісектрисою трикутника.

У трикутника є три бісектриси, які перетинаються в одній точці і мають такі властивості:

• Бісектриси внутрішніх кутів трикутника перетинаються в одній точці — інцентрі — центрі вписаного в цей трикутник кола.
• Бісектриси трикутника зображені голубим кольором.
• Бісектриса внутрішнього кута трикутника ділить протилежну сторону у відношенні, рівному відношенню двох прилеглих сторін.
• Якщо в трикутнику дві бісектриси рівні, то трикутник — рівнобедрений.
• В рівнобедреному трикутнику бісектриса кута, протилежного до основи трикутника, є медіаною та висотою.
• Відстані від сторін кута до будь-якої точки бісектриси однакові.

Висота трикутника — це перпендикуляр, опущений із вершини трикутника до прямої, що містить його протилежну сторону.

\(1)\) провести пряму, яка містить одну зі сторін трикутника ( у разі, якщо проводиться висота з вершини гострого кута в тупокутному трикутнику );

\(2)\) із вершини, що лежить навпроти проведеної прямої, опустити до неї перпендикуляр ( перпендикуляр — це відрізок, проведений із точки до прямої, який утворює з нею кут величиною 90 ° ). Це і буде висота.

Так само, як медіани і бісектриси, трикутник має три висоти, які перетинаються в одній точці.

Точку перетину висот трикутника називають ортоцентром. В гострокутному він знаходиться всередині трикутника.
Якщо трикутник має прямий кут, то сторони, що утворюють прямий кут, можна назвати висотами, оскільки вони перпендикулярні одна до іншої. Точкою перетину висот є спільна вершина перпендикулярних сторін. Отже, в прямокутному трикутнику ортоцентр збігається з вершиною прямого кута.

Якщо трикутник має тупий кут, то висоти, опущені з вершин гострих кутів, знаходитимуться за межами трикутника. Прямі, на яких розташовані висоти, перетинатимуться за трикутником. Отже, в тупокутному трикутнику ортоцентр лежить поза межами трикутника.

Якщо з однієї й тієї самої вершини провести медіану, бісектрису й висоту, то медіана виявиться найдовшим відрізком, а висота — найкоротшим.

1. Рівнобедрений трикутник. Медіана, бісектриса і висота рівнобедреного трикутника.

У задачах часто зустрічається трикутник із рівними сторонами. Такі трикутники мають особливі властивості.

Трикутник називається рівнобедреним, якщо в нього дві сторони рівні.
Дві рівні сторони рівнобедреного трикутника називають бічними сторонами, а третя сторона — основою.

На рисунку зображено рівнобедрений трикутник \(ABC\) з бічними сторонами \(AB\) \(і\) \(BC\) та основою \(AC.\)

Трикутник називається рівностороннім, якщо в нього всі сторони рівні.

Зазначимо, що рівносторонній трикутник також є рівнобедреним, причому будь-які дві його сторони можна вважати бічними.

Рівнобедрений трикутник має властивості, яких не мають різносторонні трикутники:
\(1.\) У рівнобедренному трикутнику кути, прилеглі до основи, є рівними.

\(2.\) У рівнобедренному трикутнику бісектриса, проведена до основи, є медіаною і висотою.
\(3.\) У рівнобедренному трикутнику медіана, проведена до основи, є бісектрисою і висотою.
\(4.\) У рівнобедренному трикутнику висота, проведена до основи, є бісектрисою і медіаною.

Першу й другу властивості можна довести, якщо доведемо рівність двох трикутників, які утворюються, коли з протилежного до основи кута провести бісектрису \(BD.\)

Розглянемо рівнобедрений трикутник \(ABC\) з основою \(AC\) і доведемо, що Δ ABD = Δ CBD \(.\)
У рівних трикутників відповідні сторони і відповідні кути рівні:

\(3.\) ∠ ADB = ∠ CDB — оскільки суміжні кути, сума яких дорівнює 180 ° \(,\) рівні, то кожен із них дорівнює 90 ° \(,\) тобто медіана є висотою.

Ознака рівнобедреного трикутника
Якщо в трикутнику два кути рівні, то він рівнобедрений.

Наслідок (ознака рівностороннього трикутника)
Якщо в трикутнику всі кути рівні, то він рівносторонній.

Наслідок
У рівносторонньому трикутнику медіана, бісектриса й висота, проведені з однієї вершини, збігаються.

На практиці для розв’язування задач замість доведеної теореми часто використовують твердження про збіг лише двох із трьох зазначених відрізків:
\(1)\) якщо в трикутнику медіана й висота, проведені з однієї вершини, збігаються, то такий трикутник є рівнобедреним;
\(2)\) якщо в трикутнику бісектриса й висота, проведені з однієї вершини, збігаються, то такий трикутник є рівнобедреним;
\(3)\) якщо в трикутнику медіана й бісектриса, проведені з однієї вершини, збігаються, то такий трикутник є рівнобедреним.

Медіани трикутника, їх властивості та використання для розв’язування задач

Медіана трикутника – це відрізок, що з’єднує вершину трикутника з серединою протилежної сторони, а також пряма, яка містить цей відрізок.

Кожен трикутник має рівно три медіани, по одній з кожної вершини, і всі вони перетинаються в центрі трикутника. У разі рівнобедреного і рівностороннього трикутників, медіана ділить навпіл будь-який кут у вершині для якого дві суміжні сторони рівні.

Розглянемо властивості медіан трикутника:

У всякому трикутнику медіани перетинаються в одній точці і діляться нею у відношенні рахуючи від вершини.

Медіани трикутника перетинаються в точці О

Медіани трикутника ABC

Медіана AD трикутника ABC

Медіана трикутника – розв’язування задач:

Приклад 1: у трикутнику сторони і дорівнюють та відповідно і . Знайти медіану, проведену до сторони .

Для початку, за теоремою косинусів, знайдемо сторону заданого трикуника:

Тобто, . Далі, скористаємося формулою для обчислення довжини медіани , отримаємо:

Приклад 2: нехай точка – середина сторони паралелограма . Відрізки і перетинаються в точці . Знайдіть , якщо .

Паралелограм ABCD

Отже, нехай – точка перетину діагоналей паралелограма. Як відомо, діагоналі паралелограма в точці перетину діляться навпіл, тому – медіана трикутника . Тоді – точка перетину медіан даного трикутника. А, як зазначалося вище, медіани трикутника в точці перетину діляться у відношенні , рахуючи від вершини, тому .

Приклад 3: усередині прямокутного трикутника ( ) взята точка так, що трикутники рівновеликі. Знайти , якщо відомо, що .

Прямокутний трикутник ABC

За умовою, трикутники рівновеликі. Це відразу ж наводить на думку про те, що – точка перетину медіан трикутника , а тому подальші обчислення являються очевидними: