Зміст:
1.3: Кутові класифікації
Зверніть увагу, що кут можна виміряти двома способами. На малюнку \(\PageIndex\) , \(\angle ABC\) це рефлекс \(240^\) або тупий кут в \(120^\) залежності від того, як він вимірюється. Якщо не вказано інше, ми завжди будемо вважати, що кут має міру менше \(180^\) .
Малюнок \(\PageIndex\) : \(\angle ABC\) можна виміряти двома різними способами.
Лінії перпендикулярні, якщо вони зустрічаються, утворюючи прямі кути. На малюнку \(\PageIndex\) , \(\overleftrightarrow\) перпендикулярно \(\overleftrightarrow\) . Символ перпендикуляра є \(\perp\) і пишемо \(\overleftrightarrow \perp \overleftrightarrow\) .
Малюнок \(\PageIndex\) : \(\overleftrightarrow\) перпендикулярно \(\overleftrightarrow\) .
Перпендикулярна бісектриса відрізка лінії – це лінія, перпендикулярна відрізку лінії в його середній точці, На малюнку \(\PageIndex\) , \(\overleftrightarrow\) є перпендикулярною бісектриса \(AB\) .
Малюнок \(\PageIndex\) : \(\overleftrightarrow\) це перпендикулярна бісектриса \(AB\) .
Два кути називаються взаємодоповнюючими, якщо сума їх мір дорівнює \(90^\) . Кожен кут називається доповненням іншого. Наприклад, кути \(60^\) і \(30^\) є взаємодоповнюючими.
Малюнок \(\PageIndex\) : Додаткові кути.
Приклад \(\PageIndex\)
Знайдіть доповнення \(40^\) кута.
Приклад \(\PageIndex\)
Знайдіть \(x\) і доповнюють кути:
\(\angle CAD = x = 90^\) . \(\angle CAD = x = -10^.\)
Ми відхиляємо відповідь, \(x = -10\) оскільки міра кута завжди позитивна. (У тригонометрії при введенні спрямованих кутів кути можуть мати негативну міру. Однак у цій книзі всі кути будуть розглядатися як позитивні міри,)
Відповідь: \(x = 9\) , \(\angle CAD = 9^\) , \(\angle BAC = 81^\) .
Два кута називаються додатковими, якщо сума їх мір дорівнює \(180^\) . Кожен кут називається доповненням іншого. Наприклад, кут нахилу \(150^\) і \(30^\) є додатковими.
Малюнок \(\PageIndex\) : Додаткові кути.
Приклад \(\PageIndex\)
Знайдіть доповнення під кутом \(40^\) .
Приклад \(\PageIndex\)
Знайдіть \(x\) і додаткові кути:
\(\angle ADC = 4x – 20 = 4(40) – 20 = 160 – 20 = 140^\)
\(\angle ADC + \angle BDC = 140^ + 40^ = 180^\) .
\(x = 40, \angle ADC = 140^, \angle BDC = 40^\) .
Приклад \(\PageIndex\)
\(x^ = 180^ – 80^ = 100^\) тому що \(x^\) і \(80^\) є мірами додаткових кутів.
Відповідь: \(x = 100\) , \(y = 80\) , \(z = 100\) .
Коли дві лінії перетинаються, як у прикладі E, вони утворюють дві пари кутів, які протилежні один одному називаються вертикальними кутами, На малюнку \(\PageIndex\) , \(\angle x\) і \(\angle x’\) є однією парою вертикальних кутів. \(\angle y\) і \(\angle y’\) a.re інша пара вертикальних кутів, Як запропонував приклад \(\PageIndex\) , \(\angle x = \angle x’\) and \(\angle y = \angle y’\) . To see this in general, we can reason as follows: \(\angle x\) is the supplement of \(\angle y\) so \(\angle x = 180^ – \angle y\) . \(\angle x’\) is also the supplement of \(\angle y\) so \(\angle x’ = 180 – \angle y\) . Therefore \(\angle x = \angle x’\) . Similarly, we can show \(\angle y = \angle y’\) . Therefore vertical angles are always equal.
Малюнок \(\PageIndex\) : \(\angle x\) , \(\angle x’\) і \(\angle y\) , \(\angle y’\) являють собою пари вертикальних кутів.
Тепер ми можемо використовувати «вертикальні кути рівні» у вирішенні завдань:
Приклад \(\PageIndex\) (repeated)
\(\angle x = 180^ – 80^ = 100^\) тому що \(\angle x\) є доповненням \(80^\) .
\(\angle y = 80^\) тому що вертикальні кути рівні.
\(\angle z = \angle x = 100^\) тому що вертикальні кути рівні.
Відповідь: \(x = 100\) , \(y = 80\) , \(z = 100\) .
Приклад \(\PageIndex\)
Так як вертикальні кути рівні, \(10x^2 = 40^\) .
Якщо \(x = 2\) тоді \(\angle AEC = 10x^2 = 10(2)^2 = 10(4) = 40^\) .
Якщо \(x = -2\) тоді \(\angle AEC = 10x^2 = 10(-2)^2 = 10(4) = 40^\) .
Ми приймаємо рішення, \(x =-2\) хоча і \(x\) негативне, оскільки значення кута все \(10x^2\) ще позитивне.
Відповідь: \(x = 2\) або \(x = -2\) .
Приклад \(\PageIndex\)
На схемі, \(AB\) являє собою дзеркало, \(CD\) являє собою промінь світла, що наближається до дзеркала з \(C\) , і \(E\) являє собою око людини, яка спостерігає промінь, як він відбивається від дзеркала в \(D\) . Відповідно до закону фізики \(\angle CDA\) , званому кутом падіння, дорівнює \(\angle EDB\) , називається кутом відбиття. Якщо \(\angle CDE = 60^\) , скільки дорівнює кут падіння?
Нехай \(\x^ = \angle CDA = \angle EDB\) .
Відповідь: \(60^\)
Примітка про теореми та постулати
Приклад теореми є твердженням «вертикальні кути завжди рівні». Теорема – це твердження, яке ми можемо довести, що це правда. Доказ – це процес міркування, який використовує твердження, які вже відомі як правдиві, щоб показати істинність нового твердження. Прикладом доказу є обговорення, що передує твердженню «вертикальні кути завжди рівні». Ми використовували факти про додаткові кути, які вже були відомі, щоб встановити нове твердження, що «вертикальні кути завжди рівні».
В ідеалі ми хотіли б довести всі твердження в математиці, які, на нашу думку, є правдивими. Однак, перш ніж ми зможемо почати доводити що-небудь, нам потрібні справжні твердження, з яких почати. Такі твердження повинні бути настільки самоочевидними, щоб не вимагати доказів самі. Твердження такого роду, яке ми вважаємо істинним без доказів, називається постулатом або аксіомою. Прикладом постулату є припущення, що всі кути можна виміряти в градусах. Це було використано, фактично не будучи заявленим у нашому доказі, що «вертикальні кути завжди рівні»,
Теореми, докази та постулати складають серце математики, і ми зіткнемося з багатьма іншими з них, продовжуючи вивчення геометрії.
Проблеми
1. Знайти доповнення під кутом
2. Знайти доповнення під кутом
3 – 6. Знайдіть \(x\) і доповнюють кути:
7. Знайдіть доповнення під кутом
8. Знайдіть доповнення під кутом
9 – 14. Знайдіть \(x\) і додаткові кути:
27. Знайти кут падіння, \(\angle CDA\) :
28. Знайдіть, \(x\) чи дорівнює кут падіння \(40^\) :
Recommended articles
- Article type Section or Page License CC BY-NC-SA License Version 4.0 Show Page TOC No on Page
- Tags
- acute angle
- authorname:hafrick
- obtuse angle
- reflex angle
- right angle
- source@https://academicworks.cuny.edu/ny_oers/44
- source[translate]-math-34119
- straight angle
- supplementary angle
Контрольна робота. Паралельні прямі. Кути, утворені при перетині паралельних прямих січною.
Укажіть малюнок, на якому зображено паралельні прямі.
За даним малюнком укажіть, як називаються кути 1 і 2.
На малюнку прямі а і в паралельні, с – січна. Знайдіть градусну міру кута х.
На малюнку прямі m і n паралельні, d – січна. Знайдіть градусну міру кута х.
Оберіть правильну відповідь
∠2 і ∠5 – відповідні
∠6 і ∠5 – внутрішні різносторонні
∠3 і ∠6 – внутрішні різносторонні
∠4 і ∠8 – відповідні
внутрішні різносторонні кути рівні
внутрішні односторонні кути рівні
внутрішні односторонні кути в сумі дорівнюють 180⁰
Пряма a || b. Знайдіть кут 1, якщо сума 5-го і 3-го кутів дорівнює 110°.
За даним малюнком знайдіть градусну міру кута х.
На рисунку прямі АВ і СD паралельні. Знайти градусну міру кута АМС.
Знайти градусну міру кожного з двох внутрішніх односторонніх кутів, що утворилися при перетині двох паралельних прямих січною, якщо один з них на 30 0 більший за другий.