1.3: Кутові класифікації

Зверніть увагу, що кут можна виміряти двома способами. На малюнку \(\PageIndex\) , \(\angle ABC\) це рефлекс \(240^\) або тупий кут в \(120^\) залежності від того, як він вимірюється. Якщо не вказано інше, ми завжди будемо вважати, що кут має міру менше \(180^\) .

Малюнок \(\PageIndex\) : \(\angle ABC\) можна виміряти двома різними способами.

Лінії перпендикулярні, якщо вони зустрічаються, утворюючи прямі кути. На малюнку \(\PageIndex\) , \(\overleftrightarrow\) перпендикулярно \(\overleftrightarrow\) . Символ перпендикуляра є \(\perp\) і пишемо \(\overleftrightarrow \perp \overleftrightarrow\) .

Малюнок \(\PageIndex\) : \(\overleftrightarrow\) перпендикулярно \(\overleftrightarrow\) .

Перпендикулярна бісектриса відрізка лінії – це лінія, перпендикулярна відрізку лінії в його середній точці, На малюнку \(\PageIndex\) , \(\overleftrightarrow\) є перпендикулярною бісектриса \(AB\) .

Малюнок \(\PageIndex\) : \(\overleftrightarrow\) це перпендикулярна бісектриса \(AB\) .

Два кути називаються взаємодоповнюючими, якщо сума їх мір дорівнює \(90^\) . Кожен кут називається доповненням іншого. Наприклад, кути \(60^\) і \(30^\) є взаємодоповнюючими.

Малюнок \(\PageIndex\) : Додаткові кути.

Приклад \(\PageIndex\)

Знайдіть доповнення \(40^\) кута.

Приклад \(\PageIndex\)

Знайдіть \(x\) і доповнюють кути:

\(\angle CAD = x = 90^\) . \(\angle CAD = x = -10^.\)

Ми відхиляємо відповідь, \(x = -10\) оскільки міра кута завжди позитивна. (У тригонометрії при введенні спрямованих кутів кути можуть мати негативну міру. Однак у цій книзі всі кути будуть розглядатися як позитивні міри,)

Відповідь: \(x = 9\) , \(\angle CAD = 9^\) , \(\angle BAC = 81^\) .

Два кута називаються додатковими, якщо сума їх мір дорівнює \(180^\) . Кожен кут називається доповненням іншого. Наприклад, кут нахилу \(150^\) і \(30^\) є додатковими.

Малюнок \(\PageIndex\) : Додаткові кути.

Приклад \(\PageIndex\)

Знайдіть доповнення під кутом \(40^\) .

Приклад \(\PageIndex\)

Знайдіть \(x\) і додаткові кути:

\(\angle ADC = 4x – 20 = 4(40) – 20 = 160 – 20 = 140^\)

\(\angle ADC + \angle BDC = 140^ + 40^ = 180^\) .

\(x = 40, \angle ADC = 140^, \angle BDC = 40^\) .

Приклад \(\PageIndex\)

\(x^ = 180^ – 80^ = 100^\) тому що \(x^\) і \(80^\) є мірами додаткових кутів.

Відповідь: \(x = 100\) , \(y = 80\) , \(z = 100\) .

Коли дві лінії перетинаються, як у прикладі E, вони утворюють дві пари кутів, які протилежні один одному називаються вертикальними кутами, На малюнку \(\PageIndex\) , \(\angle x\) і \(\angle x’\) є однією парою вертикальних кутів. \(\angle y\) і \(\angle y’\) a.re інша пара вертикальних кутів, Як запропонував приклад \(\PageIndex\) , \(\angle x = \angle x’\) and \(\angle y = \angle y’\) . To see this in general, we can reason as follows: \(\angle x\) is the supplement of \(\angle y\) so \(\angle x = 180^ – \angle y\) . \(\angle x’\) is also the supplement of \(\angle y\) so \(\angle x’ = 180 – \angle y\) . Therefore \(\angle x = \angle x’\) . Similarly, we can show \(\angle y = \angle y’\) . Therefore vertical angles are always equal.

Малюнок \(\PageIndex\) : \(\angle x\) , \(\angle x’\) і \(\angle y\) , \(\angle y’\) являють собою пари вертикальних кутів.

Тепер ми можемо використовувати «вертикальні кути рівні» у вирішенні завдань:

Приклад \(\PageIndex\) (repeated)

\(\angle x = 180^ – 80^ = 100^\) тому що \(\angle x\) є доповненням \(80^\) .

\(\angle y = 80^\) тому що вертикальні кути рівні.

\(\angle z = \angle x = 100^\) тому що вертикальні кути рівні.

Відповідь: \(x = 100\) , \(y = 80\) , \(z = 100\) .

Приклад \(\PageIndex\)

Так як вертикальні кути рівні, \(10x^2 = 40^\) .

Якщо \(x = 2\) тоді \(\angle AEC = 10x^2 = 10(2)^2 = 10(4) = 40^\) .

Якщо \(x = -2\) тоді \(\angle AEC = 10x^2 = 10(-2)^2 = 10(4) = 40^\) .

Ми приймаємо рішення, \(x =-2\) хоча і \(x\) негативне, оскільки значення кута все \(10x^2\) ще позитивне.

Відповідь: \(x = 2\) або \(x = -2\) .

Приклад \(\PageIndex\)

На схемі, \(AB\) являє собою дзеркало, \(CD\) являє собою промінь світла, що наближається до дзеркала з \(C\) , і \(E\) являє собою око людини, яка спостерігає промінь, як він відбивається від дзеркала в \(D\) . Відповідно до закону фізики \(\angle CDA\) , званому кутом падіння, дорівнює \(\angle EDB\) , називається кутом відбиття. Якщо \(\angle CDE = 60^\) , скільки дорівнює кут падіння?

Нехай \(\x^ = \angle CDA = \angle EDB\) .

Відповідь: \(60^\)

Примітка про теореми та постулати

Приклад теореми є твердженням «вертикальні кути завжди рівні». Теорема – це твердження, яке ми можемо довести, що це правда. Доказ – це процес міркування, який використовує твердження, які вже відомі як правдиві, щоб показати істинність нового твердження. Прикладом доказу є обговорення, що передує твердженню «вертикальні кути завжди рівні». Ми використовували факти про додаткові кути, які вже були відомі, щоб встановити нове твердження, що «вертикальні кути завжди рівні».

В ідеалі ми хотіли б довести всі твердження в математиці, які, на нашу думку, є правдивими. Однак, перш ніж ми зможемо почати доводити що-небудь, нам потрібні справжні твердження, з яких почати. Такі твердження повинні бути настільки самоочевидними, щоб не вимагати доказів самі. Твердження такого роду, яке ми вважаємо істинним без доказів, називається постулатом або аксіомою. Прикладом постулату є припущення, що всі кути можна виміряти в градусах. Це було використано, фактично не будучи заявленим у нашому доказі, що «вертикальні кути завжди рівні»,

Теореми, докази та постулати складають серце математики, і ми зіткнемося з багатьма іншими з них, продовжуючи вивчення геометрії.

Проблеми

1. Знайти доповнення під кутом

2. Знайти доповнення під кутом

3 – 6. Знайдіть \(x\) і доповнюють кути:

7. Знайдіть доповнення під кутом

8. Знайдіть доповнення під кутом

9 – 14. Знайдіть \(x\) і додаткові кути:

27. Знайти кут падіння, \(\angle CDA\) :

28. Знайдіть, \(x\) чи дорівнює кут падіння \(40^\) :

Recommended articles

  1. Article type Section or Page License CC BY-NC-SA License Version 4.0 Show Page TOC No on Page
  2. Tags
    1. acute angle
    2. authorname:hafrick
    3. obtuse angle
    4. reflex angle
    5. right angle
    6. source@https://academicworks.cuny.edu/ny_oers/44
    7. source[translate]-math-34119
    8. straight angle
    9. supplementary angle

    Контрольна робота. Паралельні прямі. Кути, утворені при перетині паралельних прямих січною.

    Укажіть малюнок, на якому зображено паралельні прямі.

    За даним малюнком укажіть, як називаються кути 1 і 2.

    На малюнку прямі а і в паралельні, с – січна. Знайдіть градусну міру кута х.

    На малюнку прямі m і n паралельні, d – січна. Знайдіть градусну міру кута х.

    Оберіть правильну відповідь

    ∠2 і ∠5 – відповідні

    ∠6 і ∠5 – внутрішні різносторонні

    ∠3 і ∠6 – внутрішні різносторонні

    ∠4 і ∠8 – відповідні

    внутрішні різносторонні кути рівні

    внутрішні односторонні кути рівні

    внутрішні односторонні кути в сумі дорівнюють 180⁰

    Пряма a || b. Знайдіть кут 1, якщо сума 5-го і 3-го кутів дорівнює 110°.

    За даним малюнком знайдіть градусну міру кута х.

    На рисунку прямі АВ і СD паралельні. Знайти градусну міру кута АМС.

    Знайти градусну міру кожного з двох внутрішніх односторонніх кутів, що утворилися при перетині двох паралельних прямих січною, якщо один з них на 30 0 більший за другий.