Властивості медіани прямокутного трикутника

Задачі по геометрії, запропоновані для вирішення, в основному, використовують такі властивості медіани прямокутного трикутника:.

• Сума квадратів медіан, що проведені до катетів прямокутного трикутника, дорівнює п’яти квадратам медіан, що проведені до гіпотенузи (Формула 1);
• Медіана, що проведена до гіпотенузи прямокутного трикутника, дорівнює половині гіпотенузи (Формула 2);
• Медіана, що проведена до гіпотенузи прямокутного трикутника, дорівнює радіусу кола, описаного навколо даного прямокутного трикутника (Формула 2);
• Медіана, що проведена до гіпотенузи, дорівнює половині квадратного кореня з суми квадратів катетів (Формула 3);
• Медіана, що проведена до гіпотенузи, дорівнює частці від ділення довжини катета на два синуси протилежного до катету гострого кута (Формула 4);
• Медіана, що проведена до гіпотенузи, дорівнює частці від ділення довжини катета на два косинуси прилеглого до катету гострого кута (Формула 4);
• Сума квадратів сторін прямокутного трикутника дорівнює восьми квадратам медіани, що проведена на його гіпотенузу (формула 5).

a, b – катети прямокутного трикутника;

c – гіпотенуза прямокутного трикутника;

Якщо позначити трикутник, як ABC, то

(Тобто сторони a, b, c – є протилежними відповідним кутам)

m_a – медіана, проведена до катету а

m_b – медиана, проведенная к катету b

m_c – медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи c

α (альфа) – кут CAB, протилежний стороні а

Задача про медиану в прямоугольном треугольнике

Медианы прямоугольного треугольника, проведенные к катетам, равны, соответственно, 3 см и 4 см. Найдите гипотенузу треугольника

Прежде чем начать решение задачи, обратим внимание на соотношение длины гипотенузы прямоугольного треугольника и медианы, которая опущена на нее. Для этого обратимся к формулам 2, 4, 5 свойств медианы в прямоугольном треугольнике. В этих формулах явно указано соотношение гипотенузы и медианы, которая на нее опущена как 1 к 2. Поэтому,для удобства будущих вычислений (что никак не повлияет на правильность решения, но сделает его более удобным), обозначим длины катетов AC и BC через переменные x и y как 2x и 2y (а не x и y).

Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC. Угол C у него прямой по условию задачи, катет AC – общий с треугольником ABC, а катет CD равен половине BC согласно свойствам медианы. Тогда, по теореме Пифагора

Поскольку AC = 2x, CD = y (так как медиана делит катет на две равные части), то
4x 2 + y 2 = 9

Одновременно, рассмотрим прямоугольный треугольник EBC. У него также угол С прямой по условию задачи, катет BC является общим с катетом BC исходного треугольника ABC, а катет EC по свойству медианы равен половине катета AC исходного треугольника ABC.
По теореме Пифагора:
EC 2 + BC 2 = BE 2

Поскольку EC = x (медиана делит катет пополам), BC = 2y, то
x 2 + 4y 2 = 16

Так как треугольники ABC, EBC и ADC связаны между собой общими сторонами, то оба полученных уравнения также связаны между собой.
Решим полученную систему уравнений.
4x 2 + y 2 = 9
x 2 + 4y 2 = 16

Сложим оба уравнения (впрочем, можно было выбрать и любой другой способ решения).
5x 2 + 5y 2 = 25
5( x 2 + y 2 ) = 25
x 2 + y 2 = 5

Обратимся к исходному треугольнику ABC. По теореме Пифагора
AC 2 + BC 2 = AB 2

Так как длина каждого из катетов нам “известна”, мы приняли, что их длина равна 2x и 2y, то есть
4x 2 + 4y 2 = AB 2
Так как оба слагаемых имеют общий множитель 4, вынесем его за скобки
4 ( x 2 + y 2 ) = AB 2
Чему равно x 2 + y 2 мы уже знаем (см. выше x 2 + y 2 = 5), поэтому просто подставим значения вместо x 2 + y 2

AB 2 = 4 х 5
AB 2 = 20
AB = √20 = 2√5

Ответ: длина гипотенузы равна 2√5

Прямокутний трикутник

Косинус будь-якого з гострих кутів менше одиниці (Формули 3 і 4). Дана властивість випливає з попереднього. Так як будь-який з катетів менше гіпотенузи, то з співвідношення катета до гіпотенузі завжди менше одиниці.

Квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів (теорема Піфагора). (Формула 5). Це властивість постійно використовується при вирішенні завдань.

Площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку катетів (Формула 6)

Сума квадратів медіан до катетiв, дорівнює п’яти квадратам медіани до гіпотенузі і п’яти квадратах гіпотенузи, ділених на чотири (Формула 7). Крім зазначених, є ще 5 формул, тому рекомендується ознайомитися також і з уроком “Медіана прямокутного трикутника”, в якому більш детально викладені властивості медіани.

Висота прямокутного трикутника дорівнює добутку катетів, поділеному на гіпотенузу (Формула 8)

Квадрати катетів обернено пропорційні квадрату висоти, опущеної на гіпотенузу (Формула 9). Дана тотожність також є одним з наслідків теореми Піфагора.

Довжина гіпотенузи дорівнює діаметру (двом радіусам) описаного кола (Формула 10). Гіпотенуза прямокутного трикутника є діаметром описаної окружності. Це властивість часто використовується при вирішенні завдань.

Радіус вписаного в прямокутний трикутник кола можна знайти як половину від виразу, що включає в себе суму катетів трикутника мінус довжину гіпотенузи. Або як добуток катетів, поділений на суму всіх сторін (периметр) даного трикутника. (Формула 11)

Синус кута А ( α , альфа) у прямокутному трикутнику дорівнює відношенню протилежного до даного кута катета до гіпотенузи (за визначенням синуса). (Формула 12). Дана властивість використовується при вирішенні завдань. Знаючи величини сторін, можна знайти кут, який вони утворюють.

Косинус кута А ( α , альфа) у прямокутному трикутнику дорівнює відношенню прилеглого до даного кута катета до гіпотенузи (за визначенням синуса). (Формула 13)

См. також: Співвідношення між кутами і сторонами прямокутного трикутника вивчає Тригонометрія.